Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
к
№
= K, (16.2.7)
^G (16-2"8>
Чтобы плотность р была положительной, согласно (16.2.8), требуется, чтобы и постоянная К была положительной. Тогда из (16.2.7) видно, что
к = +1 (16.2.9)
и
Л=Т7Г <16-2-,0)
Следовательно, статическая вселенная Эйнштейна конечна (хотя, разумеется, не ограничена), имеет положительную кривизну и плотность, фиксированную заданием фундаментальных постоянных KmG.
Открытие в 1920-х гг. систематического соотношения между ррасным смещением и расстоянием привело к утрате всякого инте-кеса к статической вселенной Эйнштейна как к реалистической космологической модели. Тем не менее существование космологической постоянной остается логической возможностью, и космологи досконально исследовали динамику расширяющейся вселенной 654
Гл. Jtt>. Космология: иные модели
с космологической постоянной (см., например, [3], гл. IX). Здесь мы уделим внимание лишь моделям с нулевым давлением, в которых, согласно (15.1.21), величина рRs постоянна. Удобно выразить эту постоянную через значение, которое она имела бы в статической модели Эйнштейна:
р Я3 = -—^7==. (16.2.11)
AnG Vl X I v
Динамическое уравнение (15.1.20), в котором плотность р заменена на р [см. (16.2.5)], имеет вид
Характер поведения R (t) зависит от расположения нулей, максимумов и минимумов кубической формы в правой части. Есть три особо интересных случая, которые связаны с именами де Ситтера, Леметра и Эддингтона.
В модели де Ситтера [6] пространство существенно пустое и плоское, так что & = а = 0, аА,>0. Уравнение (16.2.12) здесь имеет простое решение:
R-еHt, (16.2.13)
H-
= (у)1/2. (16.2.14)
Метрика совпадает с метрикой стационарной модели, обсуждавшейся в § 8 гл. 14, с той разницей, что вместо непрерывного рождения материи здесь нет материи вообще! Как было указано в § 3 гл. 13, эта метрика допускает десятипараметрическую группу изометрий, которая есть группа «вращений» в пяти измерениях, оставляющих инвариантной диагональную матрицу с элементами + 1, -fl, +1, +1, —1. Соответственно, эту группу часто называют группой де Ситтера. Хотя отсутствие в модели де Ситтера материи исключает отношение к пей как к серьезной космологической модели, следует все же отметить, что любая модель с Я > 0 переходит в модель де Ситтера при R —оо.
В так называемой модели Леметра [7] пространство имеет положительную кривизну, К > 0 и вещества в ней больше, чем в статической модели Эйнштейна, так что к = +1 и а > 1. Из уравнения (16.2.12) следует, что масштабный фактор R при t = 0 начинает расти как Z2^3, но затем расширение замедляется, скорость расширения доходит до минимума при R = а1/3/")/ Л, после чего расширение снова ускоряется, асимптотически приближаясь к деситтеровскому поведению (16.2.13). Наиболее замечательным свойством этой модели является наличие в ней «периода отдыха», § 2. Модели с космологической постоянной
655
в течение которого R (t) остается близким к значению R =
= а1/3/^?»,, определяющему минимум функции R. В этот период уравнение (16.2.12) с A= +1 можно записать в приближенном виде:
(Rf » а2/з _ 1 + (YlR- аУэ)\ Решением этого уравнения является
R=^l 1 + (1- a-2/3)1/2sh WHt-«„))],
ГДе tm — момент, когда R достигает минимума. Если постоянная а очень близка к единице, то R остается близким значению R в статической модели Эйнштейна (16.2.10) в течение длительного времени порядка
At = X-1'2 I In (1 - а~2/3) [. (16.2.15)
Модель Эддингтона — Леметра является предельным случаем модели Леметра; она привлекла к себе особое внимание в связи с работой Эддингтона [8]. Кривизна и масса в ней такие же, как в статической модели Эйнштейна, т. е. k = +1 и а = 1, а развитие во времени в ней такое же, как в модели Леметра с бесконечно долгим «периодом отдыха». Таким образом, если развитие начинается с R = 0 при t = 0, то при t оо R асимптотически стремится к эйнштейновскому значению 1/]/А. Напротив, если развитие начинается сі? = 1/у^при t = 0, то R монотонно растет по экспоненциальному закону (16.2.13), характерному для модели де Ситтера. Отсюда сразу видно, что модель Эйнштейна неустойчива, так как если на нее наложить бесконечно медленное расширение или сжатие, то R будет продолжать расти или сжиматься с зависимостью от времени, определяемой моделью Эддингтона — Леметра.
Наблюдаемая концентрация красных смещений квазаров около Z л* 2 (§ 6 гл. И и §8 гл. 14) оживила интерес к моделям Леметра [9—11], поскольку возникла мысль, что существует необычайно большое число квазаров при выделенном значении масштабного фактора, R « RJ3, чего можно было бы ожидать в модели Леметра, в которой радиус «отдыха» a 1I3Iyr^ совпадает с этим выделенным значением R. Подбирая а « 1, можно получить такой «период отдыха», какой нам нужен, так что преобладание выделенного красного смещения z ж 2 можно сделать столь сильным, сколь это необходимо для объяснения наблюдений квазаров. С этой новой мотивировкой в последнее время были проведены исследования распространения световых сигналов вокруг Вселенной [12], числа радиоисточников [13—15] и образования галактик [16] в моделях Леметра. Хотя нет никаких четких данных против 656
