Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Гл. 15. Космология; эталонная модель
Ж. Продолжается свободное расширение фотонов, нейтрино и антинейтрино, при этом Ty = l,40irv ~ R~l. Температура ионизованного газа остается «привязанной» к температуре фотонов до рекомбинации водорода при T « 4000 К.
3. При некоторой температуре между IO3 и IO5 К плотность энергии фотонов, нейтрино и антинейтрино становится ниже плотности масс покоя водорода и гелия и Вселенная вступает в эру преобладания вещества.
Для детализации этой истории будет удобным посвятить настоящий параграф температурной эволюции определяющих составных частей ранней Вселенной — фотонов и лептонов, а обсуждение синтеза ядер (нуклеосинтеза) отложить до следующего параграфа.
Рассмотрим, во-первых, уравнение, задающее временной масштаб расширения ранней Вселенной. Оно несколько проще, чем в эру преобладания вещества, поскольку можно пренебречь кривизной пространства. При к = ±1 современное значение правой части уравнения Эйнштейна (15.1.20) определяется из (15.2.5) и (15.2.6):
8пСр"Л°2= ,2g° . (15.6.1)
3 I^g0-1 I v '
В § 2 этой главы было показано, что, по всей вероятности, <7о > 0,014 и, следовательно, в настоящее время 8лСрі?2/3 > 0,03. В течение эры преобладания вещества эта величина убывала как R-1 ~ Т\ поэтому в более ранние периоды она была больше, например около 10 при Ty « 1000 К. Отсюда видно, что на протяжении всей ранней истории Вселенной постоянная к была много меньше, чем правая часть уравнения (15.1.20), и потому приведенное выше уравнение можно упростить:
= (15.6.2)
Поэтому для обсуждения ранней Вселенной безразлично, является ли пространство открытым или закрытым.
Теперь мы должны рассмотреть, что представляет собой содержимое ранней Вселенной. Можно ожидать, что в любой заданный момент времени некоторые частицы будут в тепловом равновесии друг с другом, другие — в состоянии свободного расширения и, возможно, часть — в процессе перехода из первого состояния во второе. В приближении идеального газа, находящегося в тепловом равновесии, плотность числа частиц Yii (q) dq і-то сорта с импульсом между q и q dq определяется распределением Ферми или Бозе (см., например, [182], § 52, 53):
щ (q) =Anh-Zgtfdq [ехр ( Е; )+1]"1 , (15 6 3) § 6. Температурная история ранней Вселенной
568
где Ei (q) = (т;2 + д2)1/2 — энергия частицы, рг — химический потенциал; в квадратных скобках выбирается знак «+» для фер-мионов и знак «—» для бозонов, gt — число спиновых состояний: g = 1 для нейтрино и антинейтрино и g = 2 для фотонов, электронов, нуклонов и их античастиц.
Химические потенциалы должны быть определены из рассмотрения законов сохранения, которым подчиняются различные возможные реакции. Основное правило состоит в том, что (і, аддитивно сохраняется во всех реакциях (см., например, [182], формула (99.2)). В частности:
A. Фотоны могут быть испущены или поглощены в любой реакции в любом числе, и Pv = 0. [Формула (15.6.3) переходит тогда в распределение Планка (15.5.9) с пу = рy/hv и q = E = = AV.]
Б. Пары частица — античастица аннигилируют в фотоны, поэтому химические потенциалы частицы и ее античастицы должны быть равны и иметь противоположные знаки.
B. Электроны и мюоны могут превратиться в соответствующие им нейтрино Ve и Vil при столкновении друг с другом или нуклонами. т. е. в реакциях
е~ + P+-^Ve + V11, е- + P^- Vb + П, F + P \ + п и т. д. Следовательно, химические потенциалы связаны равенствами
Me--Mve = Mn--^vu = И-п — И-р. (15.6.4)
Всего имеются четыре независимых сохраняющихся внутренних квантовых числа: заряд, барионное число (нуклоны и гипероны минус антинуклоны и антигипероны), электронное лептонное ЧИСЛО (е~ И Ve минус е* И Ve) и мюонное лептонное ЧИСЛО Х) ([X- И Vjl минус и Vti). Следовательно, имеются четыре независимых химических потенциала, в качестве которых можно взять Me-i Mv > Mv- Эти независимые химические потенциалы должны определяться значениями плотности заряда Nq, плотности барионного числа Nb, плотности электронного лептонного числа Ne и плотности мюонного лептонного числа NM\ все они изменяются как R'3. Задача нахождения химических потенциалов сводится, таким образом, к определению значений этих четырех плотностей.
Мы знаем, что средняя плотность заряда Nq равна нулю или во всяком случае очень мала 2). Мы знаем также, что плотность
1) Обсуждение законов сохранения электронного лептонного числа имюонного лептонного числа по отдельности см., например, в 1183], § 1.2и3.4.
2) Возможность отличного от нуля JVo обсуждается в работах [184, 185]. ¦570
Гл. 15. Космология; эталонная модель
барионного числа Nb много меньше плотности фотонов пу, поскольку в настоящее время Nb a: пр пп — п- — п- на 8—10 порядков меньше пу, тогда как в ранние периоды величина NbR3 была строго постоянной, а величина nyR3 ~ (TyR)3 — постоянной лишь весьма приближенно. К сожалению, мы очень мало знаем о нынешней плотности нейтрино и поэтому не можем оценить значение Ne = пе. + nve — пе+ — п-е или Nm = II11- + — — п-
Все же, поскольку Nb на 8—10 порядков меньше, чем пу, весьма разумно предположить, что Nb и Nm также много меньше Пу. Если это так, то будет хорошим приближением положить все сохраняющиеся квантовые числа равными нулю:
