Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Nq = Nb = Ne = Nm = 0. (15.6.5)
Конечно, на самом деле Nb не равно нулю и нам нужно будет ввести в расчеты барионы, когда мы в следующем параграфе станем рассматривать синтез элементов, но при установлении весьма приблизительной температурной истории ранней Вселенной числом Nb можно пренебречь. Вопрос о том, можно ли пренебречь также и числами Ne и Nm, будет поднят в конце этого параграфа.
Задача нахождения химических потенциалов решается теперь очень просто. Химические потенциалы частиц и античастиц равны и противоположны по знаку, поэтому четыре плотности Nq, Nb, Ne и Nm являются нечетными функциями четырех независимых химических потенциалов pe-, [xVe, Следовательно, значения pj, определяемые условием (15.6.5), равны попросту нулю:
рг = 0. (15.6.6)
Это приближение дает возможность весьма просто использовать сохранение энергии. Полная плотность энергии и полное давление всех частиц, находящихся в тепловом равновесии, теперь являются, очевидно, функциями только температуры:
Ргавн (T) = 2 J Еі (?) пі (?; Т) d^ (15-6-7)
і(равн)
Pv^(T)^ 2 j [-вдг]Пі{q'т) dq (15-6,8)
і (равн)
[см. (2.10.21) и (2.10.22)]. Согласно второму началу термодинамики, энтропия частиц, находящихся в равновесии при температуре T и в объеме V, есть функция S (V, Т), такая, что
dS (V, T) = ±{d (Рравн (T) V) + Pvasa (T) dV}. (15.6.9) § 6. Температурная история ранней Вселенной
571
Отсюда
-~ — у {Ррава (T) + Рравн (^)Ь
(У, Т) _ V фравн (T)
OT T AT
Плотность энергии и давление должны удовлетворять условию интегрируемости
Ит~ { T 1pPmb ^ ^Равн (^1)]} ~ ~ffv [~F Рра,г ^ ' J
или после небольших преобразований
dppa:г(Т) = T^W ^ + Pp-" (15-6Л°)
Это равенство можно также вывести непосредственно из (15.6.7) и (15.6.8), так как частицы, находящиеся в тепловом равновесии, взаимодействуют только между собой, их полная энергия и давление должны, кроме того, удовлетворять уравнению сохранения энергии (14.2.19):
R3 ^lF- = It- ^3 (Ррявн + Рравн)]. (15.6.11)
Используя условие (15.6.10), можно переписать это равенство так
4 { [Рравн СП + Рравн (Щ } = 0. (15.6.12)
Этот закон сохранения имеет простую интерпретацию в терминах энтропии. Использование равенства (15.6.10) в (15.6.9) дает
dS (F, Т) = 4- d {[рравн (T) + Рравн (Г)] V} -
— 77 [Ргавн (T) +^равн (T)] dT,
и, следовательно, с точностью до возможной аддитивной постоянной
S(V, Т) = [Рравн (T) + Рравн (T)]- (15.6.13)
Равенство (15.6.12) устанавливает, таким образом, постоянство энтропии в объеме R3 (t):
S = S (R3, Т) = -^r- [рравн (T) -L Рравн (T)]- (15.6.14)
В частности, когда все частицы, находящиеся в равновесии, являются ультрарелятивистскими, в интегралах (15.6.7) и (15.6.8) ¦572
Гл. 15. Космология; эталонная модель
можно положить E = q, так что
Рравн (T) — -g- Рравн (T) • (15.6.15)
Тогда из (15.6.10) следует, что
Рравн (T) ~ Ti (15.6.16)
с «постоянной» пропорциональности, зависящей от того, какие именно типы частиц находятся в равноЕесви при данной температуре. [Этот результат можно получить также непосредственно из (15.6.7) и (15.6.8).] Теперь, подставляя (15.6.15) и (15.6.16) в (15.6.12), определяем, как падает температура:
T ~ R-1. (15.6.17)
Мы увидим, что эта закономерность верна в течение большей (но все же не всей) части ранней эволюции Вселенной.
Нашей следующей целью является установление того, какие частицы были в тепловом равновесии в различные периоды. Одно из упрощений, возникших из-за пренебрежения химическими потенциалами, состоит в том, что иметь заметную плотность (15.6.3) и быть в тепловом равновесии могут только частицы с т < кТ. При кТ <; шп или T <; 1,5 -IO12 К такими частицами являются Pi, ^iI V11, Vд, ve, ve и у. Гравитоны не рассматриваются здесь по причинам, изложенным в § 11 этой главы. В ходе всей ранней истории Вселенной процессы рождения пар, аннигиляции и комптоновско-го рассеяния поддерживали все остающиеся заряженные частицы в равновесии с фотонами. Следовательно, фотоны подчинялись распределению Планка (15.5.9), а е± и Pi — распределению Ферми с нулевым химическим потенциалом:
пе- (q) dq = пе+ (q) dq = 8nh~sq2 tfy[exp ( ) + 1 ]"" *,
(15.6.18)
Лц- (Я) dq = TZix+ (q) dq = 8nh~Y ^[exp (¦ Vg'+ w^) +l]"'.
(15.6.19)
Что можно сказать относительно нейтрино и антинейтрино? Известно, что они могут рождаться, исчезать и рассеиваться в реакциях
+ P+*-* ve + Vu, е+ + p~«->ve + Vli, Vf. + р-^ V11 + е-, Vg + p+^v^ + e+, (15.6.20) ve + e+, V11 + p."•*-*¦ ve + е~. § 6. Температурная история ранней Вселенной
573
Коль скоро кТ < сечения всех этих реакций будут примерно иметь порядок
owh^glkfi-l(kT)\ (15.6.21)
где gwk = 1,4-10-49 эрг-см3 — константа слабого взаимодействия, известная по наблюдаемой скорости распада мюона р+ е+ + + ve + vu. При рассматриваемых температурах все скорости частиц порядка единицы, поэтому для плотностей заряженных лептонов е± и р± из (15.6.18), (15.6.19) получаем
U1 ^ (^f)3. (15.6.22)
Следовательно, длина, на которой нейтрино рассеивается или рождается в расчете на один заряженный лептон, имеет порядок
