Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Время, необходимое для падения температуры от IO9 до IO8 К, составляло, таким образом, около 5,3 ч. Если излучение продолжало доминировать над веществом до рекомбинации водорода при T = 4000 К, то возраст Вселенной к этому моменту был равен 4-Ю5 лет.
К сожалению, если мы хотим описать поведение T (t) и R (t) в ходе всей ранней истории Вселенной, то при «прослеживании» эры электрон-позитронной аннигиляции приходится прибегать § 6. Температурная история ранней Вселенной
579
к численному расчету. Чтобы выразить R через T, воспользуемся тем фактом, что при T <С IO12 К энтропия (15.6.39) оставалась все время постоянной (до настоящего времени, если при T <4000 К подставлять Ty вместо Т). Таким образом,
s = ja(R0Tv0)з (15.6.45)
и, следовательно, (15.6.39) можно переписать в виде
Плотность энергии р является функцией Т, такой, что ее при температуре Т, меньшей IO12 К и большей чем T1kp и 4000 К, можно приравнять
P = P +P -f P- +PV +P- + Pe+ + Pe- =
a ve д Vjjl
OO
= аТ^ +1 oTJ + 16як'* J Ee (q) ф dq [ехр (?^ ) +1J.
о
С помощью (15.6.41) получим
р = аТЩ(%г), (15.6.47)
где
gh = i + ^(a)4/vv3 (x) +
OO
+ ^ \ У2dy УI^Tt [^v + (15.6.48)
о
В динамическом уравнении (15.6.2)
,, / SnpG \ -42 dR
dt=(-h) -ж
можно использовать уравнения (15.6.46) и (15.6.47) и получить формулу для времени как функции температуры:
f__J[« + (15.6.49)
Численные значения t, RIR0 и TITv в зависимости от T даны в табл. 15.4 [187].
Единственным по-настоящему произвольным предположением было до сих пор то, что плотности лептонных чисел Ne и Nm считались равными нулю или по крайней мере много меньшими, чем Пу. Рассмотрим теперь, каким был бы эффект отказа от этого
37* ¦580
Гл. 15. Космология; эталонная модель
предположения. После падения температуры ниже IO12 К из заряженных частиц оставались только электроны и позитроны; электронейтральность требует, чтобы Nq = пе+ — пе- = 0. Химический потенциал электрона должен быть тогда равен нулю, и единственными частицами с неисчезающими химическими потенциалами остаются нейтрино и антинейтрино. При T > 1,3-IO11 К эти частицы были в равновесии су, е+ и е~ и подчинялись распределению Ферми
7ZVe (q) dq = 4nh~Ydq[exр +1]"'. (15.6.50)
Г /ff + Mv \ -1-І
п-е (q) dq = inh~Ydq [exp (__s) + і] (15.6.51) и аналогично для Vu и Vil. Плотности лептонных чисел тогда равны Ne = ^[nvJq)-n;e(q)]dq = 4n(^)3jr(^), (15.6.52)
Nm = J Invll (?) - ^ (?)] dq = An (^) V (-?^) , (15.6.53)
где
OO
JT(X)=^ [(еу~х + I)-1 — (ev+x +I)-1] г/2 dy. (15.6.54) о
Поскольку электронное лептонное и мюонное лептонное числа считаются сохраняющимися [183], плотности Nz и Nm должны все время вести себя как R~3, а поскольку мы знаем, что в период, когда IO12 К > T > 5 -IO9 К, температура изменяется как R-1, то из всего этого следует, что pv IkT и pv IkT должны быть
е р,
постоянными с момента аннигиляции р — до «выключения» взаимодействия нейтрино и антинейтрино с остальной материей.
После «выключения» этого взаимодействия нейтрино и антинейтрино свободно расширяются; при этом их плотности падают как R'3, а импульсы «краснеют» пропорционально R'1. Это красное смещение сохраняет вид распределений (15.6.50) и (15.6.51), но приводит к уменьшению температуры и химических потенциалов в R-1 раз. Таким образом, распределения нейтрино в течение всего периода T -< IO12 К до настоящего времени определяются следующими формулами:
ще (q) dq = Anh-Y dq [exp ( ) + 1 ]'"'1, (15.6.55)
\ {q) dq = AnhT3 q* dq [exp ( ) +1 ] ~ \ (15.6.56) § 6. Температурная история ранней Вселенной
581
% (q) dq = Anh~3q2 dq [ехр ( ^j-H ) + 1J, (15.6.57)
n^ (?) dq = Anh-Y dq [exp (-??. ) + l]~\ (15.6.58)
где Tv, pVg и pVji изменяются как В'1, причем до аннигиляции электронов и позитронов Ty = Т. Распределения нейтрино и антинейтрино не влияют на аннигиляцию е+ — е~, и все полученные ранее результаты относительно зависимости Tv и jR от T сохраняют силу.
Если Ne и Nm много меньше, чем плотность фотонов Пу да (кТ/h)3, из (15.6.52) и (15.6.53) получим
I Pve |< AT1v, IlXvliKATv (15.6.59)
и все распределения (15.6.55) — (15.6.58) сводятся к использованному ранее распределению (15.6.29).
Напротив, если Ne или Nm сравнимы с плотностью пу или больше ее, то постоянные I }xv /ArSrrv I или I Pv IkTv | будут порядка единицы или больше и функции распределения (15.6.55)— (15.6.58) будут заметно отличаться от (15.6.29). В пределе, когда, скажем, \nvelkTvf^> 1, функции распределения (15.6.55), (15.6.56) становятся равными
Г 4jxh~3q2 dq, q < pv , nVe(q)dq~ j 0> (15.6.60)
n-(q)dqtt 0. (15.6.61)
e
Это случай полного вырождения нейтрино. Разумеется, если HvJkTv —1, то в формулах (15.6.60) и (15.6.61) нейтрино и антинейтрино меняются ролями и имеет место полное вырождение антинейтрино. Возможность полного вырождения нейтрино допускалась [188] некоторое время назад до открытия микроволнового фона, когда представлялось разумным предположить, что Вселенная всегда была холодной и поэтому кТу С I ^ve I-
