Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Aa = n„Vjveg = tiii VaJV" = n„Va (JV^ + JV и" ) =
= JVa + N-InllVae^ = JVa + Aa^JV3 = JV1;a . (24.20)
Подставляя (24.19) и (24.20) в (24.18), находим
Vjveg = (Npa - N Ki ) el + (JV a + KapNfi) п" . (24.21)
При помощи (24.21) и с учетом (24.3) получаем
Vnnll =-{N,a + Ka?N? )е?. (24.22)
24.2. Вычисления
Полученные формулы позволяют продвинуться далее в вычислениях. Согласно (24.9)
Отсюда и вследствие (24.21)
Nj0a0 = Na, = (24.23)
При помощи (24.9) и (24.22) находим
Ar-MToo = = -N 7ao . 9aSlSo? = ~Ka? = ~l°a? , (24.24)
228 откуда
9aSll = -J0aa - (24.25)
Сопоставляя (24.14), (24.23) и (24.24), видим, что
9aSl?o = 9cilt? = —la? = -Ka? . (24.26)
Согласно (24.9)
loa = ^efrVfiTiu = 0. (24.27)
Найдем скорость изменения пространственной метрики ga? при изменении параметра t:
ga? = jt{g^y?) = NxVx {g?ve№?) =
= V^Vjve^ + e^V^). Теперь при помощи (24.21) и (24.13) получаем
дар = -2 N Ka? + Na\? + N?la . (24.28)
Определим на трехмерных тензорных величинах всех типов операцию которая описывает изменение, обусловленное смещением чисто ортогональным к гиперповерхности Е. По определению, для любой величины ф
8і_ф = Nn^ifi = N фл. (24.29)
В частности, для 4-вектора
6L{;a = N n"?„,„ = N ();„ =
= Nnue^ +^Nn'e^ = Ntail+t,VN±e»a .
Операции Vjvx и VjVm на величинах efr и Tifi определяются правыми частями формул (24.21) и (24.22), в которых следует положить Na = 0 или N = 0 соответственно. Таким образом,
<5±?а = N?a.± - N Ka?f + NlaU ¦ (24.30)
Поскольку N - трехмерный скаляр, то JVja = N>a- Далее,
6±Кар = N Ka?iL = N Ka?]± - 2 N IQKl? . (24.31)
229 При получении правой части уравнения (24.31) учтено, что KcxJl = = К і« = 0, а также правило ковариантного дифференцирования (24.11) и соотношения (24.26).
Продолжим вычисления. Имеем
Sigafi = Ngafiil = Ngafiil +NjoaQgs? + Nf?0gas.
Так как даь;с = 0 и вследствие (24.26)
Sigafi = -2 N Kafi. (24.32)
Обозначим
Зд = det ga? < 0 . (24.33)
Последнее равенство является следствием (24.5). При помощи (24.32) находим
4/1?= \ V^gapSigap = -N /1?к, K = KS- (24.34) Нам потребуется величина
Na ( V7zH* =№еха (V^)-X =
= \ Naexa V^9 gpsg,„ Va (ege? ) = V^<Vjv,, e"? .
Теперь воспользуемся формулой (24.21), в которой положим N = 0. Получим, что
Na Vz^gta = VzjiHNfa. (24.35)
Применим полученные формулы для вычисления используемого далее выражения. Имеем цепочку равенств
Vz^gapSi Ka? = Vz^gS1 к - 2 V^g N KapKc"3 =
= Sl ( Vz^K) + VzjQ N K2 - 2 V^9 N KafiKaP . (24.36)
Здесь первое равенство является следствием (24.31), а второе - следствием (24.34). Но
(Vz^ К) = N п» JL (Vz^ К) = jv" ~ (V=% К) -
230 - Na ^g K ),a = ^ (v71^ К)-Na ^=? К,а - К Na^ga =
= I(^TgK)-^g(KNa) 1а. (24.37)
Последнее равенство в (24.37) есть следствие (24.35). Подставим (24.37) в (24.36):
ga?S±. Ka? = ^g N (К2- 2 KapKaP ) +
+ ^(V=ZgK)- (KNa ),а. (24.38)
Приступим теперь к вычислению скалярной кривизны в базисе { еа }. Формы Uia = dx" и wb = JbcWc удовлетворяют структурным уравнениям Картана (2.28) (см. также (9.17) и (9.25)) с кручением, равным нулю. Отсюда находится тензор кривизны в базисе { еа }:
Kcd = Itd1C - lbc,d + (Ilcltd - laedlle) + Ibe (led -Ide)- (24.39) Из (24.39) и при помощи (24.10), (24.14) и (24.26) находим
iRafiyS = 3RaPyS — ( KajKsp — KasK~,p ). (24.40)
Мы снабжаем верхним левым индексом "3" тензор кривизны гиперповерхности Е, построенный по трехмерной связности Jp1 по обычным правилам. Верхний левый индекс "4" указывает на то, что соответствующие компоненты являются компонентами тензора кривизны в четырехмерном пространстве (24.39). Далее,
N ARaL?L = N { gasiooi? - даб1ор,о + gapls?loo ~
- gaplPS0l50p + gaplool?O + gap-fit ( 7/30 - lo? ) } • (24.41)
Вследствие (24.26) последнее слагаемое в фигурных скобках равно нулю. Выписанных формул достаточно, чтобы после простых вычислений получить следующий результат:
N4Ral?L = Sl Ka? + N IVaKp1 - N\a? . (24.42)
Плотность действия (13.20) выражается через плотность скалярной кривизны
N V71^ R=N ^g gacgbd Rabcd .
231 Воспользуемся формулами (24.5) и (24.40), 24.42):
N V71^R=N sf-^g(3R + KapKap -К2) +
+ 2 v71^(9a?61 Kap - N\" + N KapKap).
При помощи формул (24.38) и (9.40) последнее выражение переписывается в виде
N V71^ R=N (3R - KapKap + K2) +
+ 2{^(^К)-[^(КНа + ^а)1а}. (24.43) Наконец, установим равенство
dV = у/—д dAx = N dt d3y , д = det д^ . (24.44) Действительно,
dx» = N^dt + є? dya
ds2 = g^ dx? dx" = N11 Nfi dt2 + 2 Na dya dt + ga? dya d/ . (24.45)
Отсюда видно, что элемент объема пространства-времени (см. (8.46)) равен
dV=(- det даЬ)1/2 dt d3y, d3y = dy1 dy2 dy3 ,
det даь =
(24.46)
где
NliN" Np Na дар
Прибавим к первой строке определителя (24.46) линейную комбинацию последних трех строк с коэффициентами -Na и учтем, что Np — Nagap = 0. Таким образом,
det даь =
N2 0 Na дар
= N23g.
(24.47)
Сопоставляя формулы (24.47) и (24.45), убеждаемся в справедливости равенства (24.44).
