Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
236 В завершение построения канонического формализма остается установить, что связи На(х) являются связями первого рода. Путем прямого вычисления можно установить следующий вид для скобок Пуассона между величинами На(х):
[Ha(x), Ti? (у) ] = Ua(y)8f(x - у) +Up(x) 8%\х - у), (24.67)
[U1(x), Ua(y) ] = Н±(у)8^(х - у), (24.68)
[Ul(x), UL(y)] =-(Ua(x)+Ua (у)) 8$ (х-у). (24.69)
Равенство (24.67) легче всего проверить, если учесть, что связи Ua генерируют бесконечно малые преобразования координат на поверхности Е. Действительно, при переходе к новым координатам
уа = ха - Na(x), JVaf-J-O (24.70)
метрический тензор изменяется согласно (12.14) на величину
Sga? = Na\p + Np\a. (24.71)
Именно такое изменение метрики генерирует часть гамильтониана U\\ (см. (24.59а)). Вариация импульса 8 под действием гамильтониана U\\ также соответствует указанному изменению координат (обратим внимание, что тензорным полем на гиперповерхности E является поле (—^)-1/2 7га/3). Поэтому алгебра величин Ua совпадает с алгеброй Ли группы диффеоморфизмов гиперповерхности Е. Поскольку поле (—Н± (х) является скалярным, то из сказанного вытекает также вид коммутационного соотношения (24.68). Равенство же (24.69) достаточно легко получается путем прямого вычисления. Назовем первое слагаемое в Uj_ (см. (24.58)) кинетической, а второе слагаемое - потенциальной энергией. Нетрудно понять, что в (24.69) скобки Пуассона кинетической энергии с кинетической энергией, а также потенциальной энергии с потенциальной энергией равны нулю. Действительно, потенциальная энергия зависит лишь от поля ga?. Кинетическая энергия зависит от обоих полей ga? и жаР, но она не зависит от пространственных производных от этих полей. Поэтому скобка Пуассона кинетических энергий, взятых в разнесенных точках на гиперповерхности Е, равна нулю. Ненулевой вклад в (24.69) дает скобка Пуассона между кинетической и потенциальной энергиями. Этот вклад легко вычисляется при помощи формулы (24.62).
237 Если величины %а(х) генерируют локальные диффеоморфизмы гиперповерхности Е, то поле ~Н]_(х) генерирует изменение гиперповерхности E в точке X в направлении, перпендикулярном к гиперповерхности. Поле %i(x) называется супергамильтонианом, а поле Ua(X) - суперимпульсом.
В случае введения в теорию материальных полей структура возникающих связей первого рода не изменяется. По-прежнему в теории будут четыре связи первого рода, играющие роль супергамильтониана и суперимпульса. Их скобки Пуассона будут аналогичны скобкам (24.67) - (24.69). Кроме уравнений движения вида (24.59), описывающих движение гравитационного поля, появятся уравнения движения, описывающие движение материальных полей (например, уравнение Дирака). В частности, если в теорию включено скалярное вещественное поле с действием
S* = \ J W </>,„</>,„- V(ф)],
то мы получим дополнительный вклад в гамильтониан следующего вида:
Пфа(х) = фіа1Т, [ф(і,х), 7T(t,y)) = S^(x-y).
Таким образом, теория гравитации является вырожденной системой, гамильтониан которой слабо равен нулю. Этот факт является следствием того, что действие в теории гравитации инвариантно относительно общих преобразований координат.
24.4. Канонический формализм в теории чистой гравитации в переменных тетрада-связность
Для полноты изложения мы рассмотрим здесь каноническую формулировку теории гравитации в переменных тетрада-связность. Изучение теории гравитации в указанных переменных представляет
+ V1^ (~9аІЗФ,«Ф,р +V(ф))
238 особый интерес, так как именно в этих переменных формулируются модели супергравитации. В этом пункте используется материал работы [23].
Согласно (13.17), (13.21) и (9.286) действие чистой гравитации в переменных тетрада-связность имеет вид
Sa = -J d*x Sabcd R;1 el ei,
К = M6 - dvuf + - ulpf . (24.72)
Здесь ?abcd и etluXp - абсолютно антисимметричные величины, причем если в них индексы расположены в порядке возрастания, то эти величины равны единице. В этом пункте мы будем пользоваться эйнштейновской гравитационной постоянной (13.2). Далее будем полагать скорость света равной единице, точка сверху будет обозначать, как обычно, частную производную по переменной t.
С точностью до полной производной по времени и поверхностных членов действие (24.72) переписывается в виде
Sg = J d4x j ^sabcdSijk utbe)edk - %Т j =
= J d*xC{uf, et, et). (24.73)
Здесь величина
-Ht = -\иайьХаЬ + еоФс , (24.74)
где
1 d ^db Xab = J ^ijk ^j ^fi , фс = Sabcd Sijk Rij > К І.
= d^el + Uifebv
не содержат производных по времени от полей.
Ниже будет показано, что величина (24.74) как функция канонических переменных является гамильтонианом, а величины ХаЬ и фс исчерпывают связи первого рода системы.
239 Из (24.73) видно, что лагранжиан системы не зависит от полей ё§ и u)°b. Поэтому их канонически сопряженные импульсы и 7г?ь являются первичными связями. Канонически сопряженные импульсы полей ef обозначим через TrJ1.
Плотность гамильтониана изучаемой системы дается выражением
П = **,%-?{ ш?,е1,ё*к), (24.75)
