Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
где
^ = щ = (24-76)
По определению, ненулевые скобки Пуассона для фундаментальных полей имеют вид
K(*)><{v)]=SlW{4*-v)> (24.77а)
«(*), <Лу)]=^&Ь}&^\Х-У). (24.776)
Здесь и далее [а, 6] (или (а, 6)) в индексах означают антисимметризацию (или симметризацию) относительно пары индексов в скобках.
Чтобы поля TT^b являлись связями, необходимо выполнение условий непротиворечивости:
[<ь,/ d3y%(y) ] = 0 .
Заметим, что здесь и в (24.75) поля ef должны быть выражены через канонические переменные и°Ь, ТГ», 7ГдЬ, и потому скобка Пуассона [я-еск ] может оказаться не равной нулю. Однако при вычислении скобки Пуассона в последнем уравнении величину Кб' ^k ] можно положить равной нулю. Действительно, вследствие соотношения (24.76) имеем
^ = O-
де?
Поэтому условие непротиворечивости сводится к соотношениям:
= 0. (24.78)
dwf
В свою очередь соотношения (24.78) эквивалентны уравнениям (13.25).
240 Выпишем часть уравнений (13.25):
V,-e° — Vj-e" = О . (24.79)
Установим, что выписанные уравнения эквивалентны совокупности уравнений
Xab = о , Xij = (gik ejlm + gjk eUm ) CakVl еат = 0, (24.80)
где gtkgkj = S1j , gkj = eakeJ.
Действительно, путем прямых вычислений проверяется справедливость соотношения
eijkVjeck = k2 eijk e^ef el Xab + ^ e°j X'J ,
ё0а = -дEabcd e\ec2ei , д = det д, (24.81)
из которого видно, что уравнения (24.80) заменяют соотношения (24.79).
Рассмотрим теперь систему связей:
Tri6 = O1 Aij=O, 4 - ^eabcd eijkwfec = 0. (24.82)
Обозначим совокупность связей Ti1ab через Xa , а совокупность оставшихся связей в (24.82) - через хм ¦ Вследствие (24.77)
[ха,ха>] = 0, [ха,хм] = Ram, [хм, Xm'] = Qmm'¦ (24.83)
Из вида связей (24.82) и коммутационных соотношений (24.77) следует, что матрица Ram в (24.83) обратима. Отсюда вытекает обратимость матрицы
[ха,Ха'] [ха,Хм'] ^ _ ( 0 Ram' [хм,ха'] [хм, xm'] J \ -Rtma' Qmm'
Обратная к ней матрица при этом имеет вид
[Rt'1 Q R'1) А'А -{ВГ1)*м
(.r~1)m'a 0
(24.84)
(24.85)
Таким образом, система связей (24.82) является системой связей второго рода.
241 Важно отметить, что скобки Дирака [ef, [ef, ]* и [я-J1, Ir3b]*
при наложении связей второго рода (24.82) сохраняют свой канонический вид (24.77). Это вытекает из формул (23.31) и (24.85).
Действительно, для полей ef и Tr1b скобка Дирака отличается от скобки Пуассона на слагаемые, пропорциональные [ef, Trjjc ] и к, Tr1bc], которые равны нулю. Поэтому после наложения связей второго рода (24.82) скобки Дирака полей ef и Trb сохраняют свой вид:
№(х),еЬ(у)] = 0, [К(х), 4(у)] = 0. (24.86)
Здесь и далее мы опускаем звездочку, применяемую для обозначения скобок Дирака, и называем скобку (24.86) скобкой Пуассона.
Уравнения (24.82) допускают явное и однозначное решение относительно полей (х). При этом коэффициенты связности оказываются выраженными через поля ef и 7ф
ш?(х) = K2 { 2ef ef е° + 4ef eg + ef el ef) TTia(X) +
+ (2д)~1єкітЄіпРеьпеср diedm ¦ Igijedk - gjkedi - gik^dj }(z). (24.87)
Теперь определены скобки Пуассона на полях ef, TT1a и uif', а тем самым и на любых функционалах от этих полей. Например, используя (24.86) и (24.87), находим
Kc(z)1 ef(y)] = к26^(х - у){ 2 et ef е° + +efef eg + ef ei ef}(x).
(24.88)
При подстановке правых частей равенств (24.87) в (24.80) и (24.82) последние обращаются в ноль тождественно. После подстановки найденных коэффициентов связности в (24.75) мы приходим к гамильтониану (24.74), в котором связность выражена через поля ef и тт'а согласно (24.87).
Далее под гамильтонианом rHj- мы подразумеваем именно эту величину,
Потребуем, чтобы коммутаторы оставшихся первичных связей 7rS и Kab с гамильтонианом (24.74) были слабо равны нулю. Так возникают связи
Хаь и 0, фс м 0. (24.89)
242 Можно показать, что связи (24.89) являются связями первого рода. Это можно сделать путем прямого вычисления скобок Пуассона между этими связями.
Мы докажем этот факт гораздо менее трудоемким путем. Получим сначала уравнения движения.
Прямые вычисления показывают, что уравнения ef = je", Нт] имеют вид
V0 е? - Vj eg = 0 . (24.90)
Поскольку уравнения (24.80) удовлетворяются автоматически, то следствием уравнений ХаЬ = 0 и (24.81), (24.90) являются все уравнения
V^- Vu el =0(mod Xab)- (24.91)
Дальнейшие вычисления можно существенно сократить, если вместо явного нахождения уравнения
К = [<,Пт] (24.92)
приравнять нулю вариацию действия (27.72) относительно тетрады еа Таким образом, получаем уравнения
S^xpSabcdelRaJl = O. (24.93)
При р = 0 уравнения (24.93) дают связи фа = 0. При р. = 1, 2, 3 уравнения (24.93) эквивалентны уравнениям движения (24.92). Выпишем их явно:
Sabed Sijk(еЬо Rfk - 2 eb Rli ) = О . (24.94)
Из уравнений (24.90) и (24.94) видно, что величины Xab генерируют локальные преобразования Лоренца, т.е.
[Xab(x), Є?(у)] = -6(Х - у){6СаЄЬІ - 5cbeai){x),
[Xfl6(I)1 Lof(y)} = -2diS(x-y)S^-2S(x-y) {S^bf+S[^af } (x).
Очевидно, что любая лоренц-векторная величина имеет скобку Пуассона с величиной ХаЬ, аналогичную выписанным. Поэтому уравнение движения для величин ХаЬ имеет вид
