Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, в результате проведения вычислений доказано существование функции S(q), удовлетворяющей уравнениям Гамильтона-Якоби (23.72). Эта функция зависит от (N-J) вещественных параметров {a} = (ai, ..., адг-j).
Действительно, уравнения (23.64а) определяют величины p^\v) не полностью, сохраняя их зависимость от (N — J) параметров. Таким образом, имеются N функций pi°\v, а), удовлетворяющих уравнениям (23.64а). Но в таком случае уравнения (23.646) определяют зависимость построенной функции S(q, а) от (N — J) параметров {а} .
Легко проверить, что уравнения Гамильтона (23.66) содержатся в уравнениях
dS(q, a) dS(q, а) . .
—я-= Pa, Pn = —7-, а = 1, ..., N - J (23.75)
daa dqn
и уравнениях (23.72). Чтобы показать это, продифференцируем уравнения (23.75) по времени:
d2S . п • ?„ = 0.
dctadqn
Возьмем частную производную d/daa от уравнений (23.72):
92 s 4гФІ=°- (2з-76)
daadqn дрп
Из сравнения последних двух уравнений видно, что
0
qп =
.дрп
(хз Фі)
P--Щ
(23.77)
221 где Xj - некоторые числа.
Теперь продифференцируем равенства р„ = OSjOqn и воспользуемся уравнениями (23.77):
. _ о2 S . _Л о2 S дфі
Рп OqnOqm Чт j OqnOqm Opm ' Но в уравнениях (23.72) содержатся уравнения
дф} | дф, Q2S =0 Oqn Op т Oq Oq т
и потому
г\
Pn = -Q^iXj Фі). (23.78)
Уравнения (23.77) и (23.78) являются уравнениями Гамильтона (23.66).
При каноническом квантовании прежде всего следует определить полный набор коммутирующих переменных, от которых зависят волновые функции состояний, и определить скалярное произведение в пространстве состояний. Эта процедура означает выбор представления. Для дальнейших построений мы воспользуемся представлением Шредингера, в котором волновые функции зависят от координатных переменных а действие импульсных пере-
менных {рп} имеет вид
р„Ф(д) = [-in^) ф(<?)- (23.79)
Скалярное произведение в этом представлении определяется как
(Ф|Ф) = J dqi...dqNV(q)<!>(q). (23.80)
Здесь черта сверху означает комплексное сопряжение. Хорошо известно, что на пространстве квадратично-интегрируемых функций, для которых (Ф| Ф) < оо, операторы импульсов, определенные согласно (23.79), являются самосопряженными.
В представлении Шредингера связи фj превращаются в операторы
Фі(чп,рп) = ФІ ^qn, -ihj^j . (23.81)
222 Проблема упорядочения операторов в (23.81) не может быть решена в общем виде. Однако в полуклассическом приближении эта проблема отсутствует.
В полуклассическом приближении ищем волновую функцию в виде
V(q)=A(q) ехр^ЗД)) . (23.82)
Здесь A(q) и Sa(q) - вещественные функции, причем Sa(q) удовлетворяет уравнениям Гамильтона-Якоби (23.72) и зависит от (N-J) параметров c*i, ..., ay _ j. Потребуем, чтобы уравнения
п
Ф = О, j=l,...,J (23.83)
выполнялись с точностью до первого порядка по постоянной Планка включительно. Подставим в уравнение (23.83) операторы и функции вида (23.81) и (23.82) и умножим это уравнение слева на U * = ехр [— (i/h) 5а(?)]. Теперь учтем, что действие "обкладок" U^OU на любой оператор О является унитарным преобразованием, причем
r\ Q
и] дп и = дп, UlpnU = Рп + .
Oqn
Поэтому мы получим следующую систему уравнений:
ф> {qn'-ihWn+d-t) A{q) = 0- (23М)
Далее проводится разложение по постоянной Планка. В нулевом приближении (h = 0) все уравнения (23.84) удовлетворяются, поскольку функция Sa (q) удовлетворяет уравнениям Гамильтона-Якоби. В первом приближении по h возникают уравнения следующего вида:
<2, S дФ](Я, Р)
А2(Я)
дрп
dSa P=St
0. (23.85)
Обратим внимание на то, что правая часть последнего уравнения не всегда может быть положена равной нулю. Дело в том, что в ряде теорий, и в том числе в теории гравитации, требуется упорядочение операторов в гамильтониане. Вследствие этого правая
223 часть уравнения (23.85) может оказаться не равной нулю (см. [21], часть 3.3).
В заключение параграфа заметим, что на волновых функциях вида (23.82), (23.85) скалярное произведение (23.80) не определено, так как выполнение условий (23.35) означает, что эти волновые функции не изменяются при изменении координат в согласии с уравнениями движения, которые в изучаемой задаче можно считать калибровочными преобразованиями. Указанная проблема является общей для всех калибровочных теорий, однако решают ее, как правило, индивидуально. Например, в электродинамике при каноническом квантовании волновая функция не зависит от продольной части трехмерного вектор-потенциала. Поэтому при определении скалярного произведения в КЭД необходимо исключить интегрирование по продольным полям. Эта проблема решается весьма эффективно на пути лоренц-инвариантного построения КЭД при помощи формализма Гупта-Блейлера в рамках методов вторичного квантования.
§ 24. Классическая теория гравитации с точки зрения канонического формализма
Здесь мы применяем аппарат обобщенной гамильтоновой механики, разработанный в предыдущем параграфе, к теории гравитации. Эта задача представляет не только самостоятельный интерес. Разработка гамильтоновского формализма предшествует процедуре квантования любой канонической системы.
