Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Решение поставленной задачи требует достаточно громоздких вычислений, широко использующих аппарат дифференциальной геометрии, разработанный в первой главе. Автор полагает, что полное усвоение материала этого параграфа может быть достигнуто лишь при самостоятельном проведении всех промежуточных вычислений. Для облегчения этой задачи параграф снабжен по возможности подробными выкладками. Аналогичное, хотя и более сжатое, рассмотрение интересующей нас задачи содержится в [22].
На первом этапе решим указанную задачу для теории чистой гравитации, описываемой действием (13.20). Однако, прежде чем приступить непосредственно к этой задаче, необходимо получить ряд
224 вспомогательных формул и соотношений.
24.1. Вспомогательные конструкции и формулы
Рассмотрим семейство пространственноподобных гиперповерхностей E(Z)1 погруженных в четырехмерное пространство-время. Здесь t - непрерывный параметр, фиксирующий гиперповерхность. Пусть X1' - некие локальные координаты четырехмерного пространства-времени. Тогда локально гиперповерхность E (t) задается четырьмя функциями Xм(у, t), где у = (у01) и a = 1, 2, 3. Таким образом, у01 являются локальными координатами гиперповерхности Е(<). В соответствие с терминологией, введенной в конце § 2, координаты (у01) называются согласованными с гиперповерхностями E(і) и набор векторов {еа = д/ду01 } является базисным в пространстве Tp E. Тогда
- = <->
то есть контравариантные компоненты касательных векторов еа в локальном базисе д/дх" имеют значения (дх"/ду01). Метрический тензор в пространстве-времени в локальном базисе д/дхц имеет компоненты (Jllly. Следовательно, метрический тензор на гиперповерхности имеет компоненты
дх" дх"
9a? = g^ Q-?- (24'2)
Так как гиперповерхность E(t) пространственноподобна, то все собственные значения матрицы ga? отрицательны. Введем в каждой точке гиперповерхности E(Z) нормальный единичный вектор n'', так что
^nV = I1 g ^eva = 0. (24.3)
Обозначим совокупность четырех векторов {n, са } через {еа} , а = 0, 1, 2, 3. В базисе д/дх»
дтIі
ео = > «S = Jjj; • (24.4)
Метрический тензор и его обратный в базисе {еа} имеет вид
<7аЬ = Єа-ЄЬ=( J Д), /Ь= ( J
(24.5)
225 Далее мы используем также следующие обозначения и формулы:
е;= Q^gab е^ eyb=8°b, aya=s;, еХ+п/ = ^. (24.6)
Компоненты любого вектора в базисе {еа} обозначаются
= (6., ?"), причем
= Є=Єе»=ип»+Се?. (24.7)
Компоненты связности в координатном базисе д/дх» обозначаются а компоненты связности в базисе {еа } - через "/^1, так что (см. (8.3))
V^ = 7аь„Єб • (24.8)
Отсюда и вследствие (24.6) вытекает, что
= 1Ьас = 1Ьа,<=^^а. (24.9)
Далее вплоть до специальной оговорки предполагается, что связность не имеет кручения. Согласно общим правилам (см. (8.3') и (8.5))
Г\
ыа _ af ApM .,a° ? la? — e?eae?l i>\ + e^e/? Qxu ea ¦
С учетом (24.4) выписанное равенство принимает вид
ll? = ^Kx = = ^a- (24Л°)
Последнее равенство является следствием отсутствия кручения
Напомним общие обозначения частных и ковариантных производных. Например,
л
ft1 — C? СИ — pVtH
— Qq1, Ч і s,a і
$ = еЖ" = e'tf и* + Tie ) = Сб + IacbIc • (24.11)
Введем трехмерную связность и ковариантную производную на гиперповерхности Tj согласно следующим определениям (сравни с (24.8)):
3Vae^ =lSa?eh ^=0 + 7^. (24.12)
226 Трехмерное ковариантное дифференцирование получается из четырехмерного ковариантного дифференцирования путем проектирования результата дифференцирования на TpTj.
Заметим, что метрика ga? на гиперповерхности согласована с трехмерной связностью. Действительно,
9a?\i = 9 a? л - it-ySi? - 7?-y9cS = ga?-a = 0 . (24.13)
Здесь предпоследнее равенство справедливо вследствие специфики метрики даь (см. (24.5)), а последнее — вследствие согласованности метрики даь с четырехмерной связностью. Из (24.13) вытекает, что результат не зависит от порядка проведения операции трехмерного ковариантного дифференцирования и поднятия (опускания) трехмерных индексов.
Введем обозначения
1% = Ka? = Kpa . (24.14)
Из формул (24.3), (24.8), (24.10) и (24.14) получаем
V„e? = Карп* +fi?e"5 = V?e"a, Van? = -Ka?e?. (24.15) Определим в каждой точке гиперповерхности следующий 4-вектор:
N" = ^ , N» = Nn" + Nae"a. (24.16)
Очевидно, в пространстве TpT величины [Na } составляют компоненты вектора, a N является скалярной величиной. Имеет место формула
Nf1a = N»e"a.y = VNe"a . (24.17)
Соотношение (24.17) вытекает из цепочки равенств
О г\
N.% = N» + T^N" = Jt< + VWexa =
= Nv = 4Ne"a.
Здесь использованы факт отсутствия кручения, определение (24.16) и вытекающая из него формула d/dt = N" (d/dx").
227 В дальнейших вычислениях используются величины VjV и Vattv Пусть
VjveS = Agej^Aan". (24.18)
С учетом (24.17), (24.16) и (24.3) имеем
Ai = = e?vajv« =
= Va ( ЛИ + JV n" ) = el (JNHa + JV7Vae^ + JV Чап" ). Теперь используем (24.15) и еще раз (24.3) и (24.6):
Ai = < + I^aeS e^t- N Kaie^el = Jv? - JV A^ . (24.19) Аналогично получаем
