Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку является величиной первого рода, то [д,Ит]& [<7, Ит]*¦ Поэтому уравнения движения
д = [д, UT]* (23.32)
эквивалентны уравнениям движения (23.15) и (23.26). Далее вследствие (23.23) из определения скобок Дирака видно, что для любой величины д имеют место равенства
Eff.x.]* =0, S = I, ..., S . (23.33)
Равенства (23.33) означают, что связи Xs = 0 могут быть разрешены еще до вычисления скобок Дирака.
Из сказанного очевидно, что скобки Дирака (23.31) по существу совпадают со скобками (23.30). Поэтому действовать можно по следующей схеме: разрешить все связи второго рода и вместо исходной скобки Пуассона использовать скобку Дирака (23.31). При таком
209 подходе в теории остаются лишь связи первого рода фj. Все величины Ut , фj являются величинами первого рода относительно скобки Дирака.
До сих пор мы рассматривали системы с конечным числом степеней свободы. Однако разработанный формализм переносится без труда на случай теории поля. В этом случае нужно лишь учесть, что степени свободы "нумеруются" координатами некой простран-ственноподобной поверхности, а суммы заменяются интегралами по этой поверхности.
Особый интерес в связи с обобщенной гамильтоновой механикой представляют так называемые общековариантные теории поля (например, теория струны и гравитации). По определению, действие общековариантных теорий инвариантно по отношению к общим преобразованиям координат. В частности, действие инвариантно относительно любой замены временной координаты х° —» f(x°). Отсюда следует, что лагранжиан является однородной функцией величин вида Voф и до- Здесь ф - какое-либо поле, Vo - ковариантная производная по направлению д/дх° и qo - временная компонента поля q^. В теориях, представляющих физический интерес, лагранжиан не зависит от полей %. Из сказанного можно сделать вывод, что гамильтониан системы имеет вид
где ф(х) - полная совокупность связей первого рода. Здесь D -размерность пространства-времени. Таким образом, в общековариантных теориях гамильтониан слабо равен нулю.
23.2. Квантование вырожденных систем
Решение проблемы квантования вырожденных систем начнем со случая, когда связи второго рода отсутствуют и скобка Пуассона динамических переменных (q,p) имеет простейший вид [qm, Pn] = = Smn , [qm qn ] = \pm, Pn ] = 0. При переходе к квантовой механике скобка Пуассона заменяется перестановочным соотношением (которое обозначается тем же символом)
(23.34)
[Чт, Pn] = ihSmn , [gm, qn] = [pm, pn] = 0
210 а переменные (qm,Pm ) считаются эрмитовскими операторами, действующими в некоем линейном пространстве. Гамильтониан Ut и связи <f>j являются функциями операторов (q, р), а также, возможно, спиновых переменных. Теперь вместо уравнений Гамильтона (23.26) для любого оператора О имеем уравнение Гейзенберга
ihO = [О, W] + Vj [О, ф^]. (23.35)
Все состояния Ф теории должны удовлетворять условиям
Фі Ф = 0 . (23.35)
Такие состояния называются физическими. Из условий (23.35) следует условие самосогласованности
= (23.36)
В классической теории мы имеем соотношение
[Фи Фз\ = cIjk фк • (23.37)
Так как мы не хотим появления новых связей при переходе к квантовой механике, то мы должны сделать вывод, что и в квантовой теории должны иметь место равенства (23.37). Следует иметь в виду, что при переходе к квантовой механике в принципе может возникнуть проблема упорядочения исходных динамических переменных в связях и в гамильтониане. Имеющаяся при этом неопределенность должна быть устранена так, чтобы соотношение (23.37), а также соотношения
[фі1П,] = Ьікфк (23.38)
были справедливы. Смысл последних соотношений в том, что если условия (23.35) справедливы в один момент времени, то они останутся справедливыми всегда. Соотношения (23.37) и (23.38) в сложных теориях нетривиальны, так как коэффициенты Cijк и bjk зависят, вообще говоря, от динамических переменных, и потому они не перестановочны со связями іi^j. Если удается так упорядочить исходные динамические переменные в гамильтониане и связях, чтобы соотношения (23.37) и (23.38) выполнялись, то квантовая теория является самосогласованной. В противном случае лишь классический вариант такой теории имеет смысл.
211 Квантование систем со связями второго рода осложняется по сравнению с рассмотренным случаем. Действительно, если и Хг - две связи второго рода и [xi, Х2 ] Ф 0 ни в каком смысле, то условия
Xi Ф = 0 , Х2 Ф = О
противоречивы. Поэтому перед началом квантования связи второго рода желательно разрешить. Если сделать это затруднительно, то следует пользоваться соответствующей скобкой Дирака вместо исходной скобки Пуассона, а уравнения
X» = 0
считать соотношениями между операторами, которые должны быть выполнены.
Возможная проблема упорядочения динамических переменных должна решаться совместно с проблемой выбора фундаментальных динамических переменных. Действительно, после перехода к скобке Дирака величины [qm, Pn]* , [Ят, Qn]* и \рт,рп]* могут оказаться весьма сложными операторами. Поэтому может оказаться целесообразным выбрать иной набор динамических переменных (Q, Р).
