Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Например, пусть система имеет одну координату и лагранжиан равен С = q. Тогда имеется связь р = 0. Гамильтониан равен Ti = —д, матрица A = 0, а матрица А = (0 1). Ранги матриц А и А различны, а сама система противоречива.
206 Далее мы_рассматриваем лишь системы, у которых ранги матриц А и А совпадают в слабом смысле. Такие системы можно назвать классически совместными. Из сказанного следует, что для таких систем коэффициенты Ui1 ..., «5 определяются однозначно, а коэффициенты «s+i, • • 11M остаются произвольными. Для нахождения коэффициентов «і, ..., us в уравнении (23.16) следует положить фт = 0.
Обратим внимание на то, что коэффициенты ui, ..., us являются коэффициентами при связях второго рода, а остающиеся свободными коэффициенты и s+i, ..., им являются коэффициентами при связях первого рода в обобщенном гамильтониане Ut (23.15). Обозначим коэффициенты us+i, ..., им через vs+i, ..., им. Кроме того, пусть (см. (23.15), далее мы полагаем j = 1, ..., J)
U1 = -H. + usX>, Ut = U' + Vrfj . (23.25)
Тогда изменение во времени любой величины д определяется уравнением
9 = Ъ,Кт]=[д,и'] + VjIg1 (23.26)
Напомним, что в уравнении (23.26) ф^ - связи первого рода. Обратим внимание также на то, что гамильтониан U' (23.25) является величиной первого рода. Именно это обстоятельство обеспечивает воспроизведение всей картины во времени.
Тот факт, что коэффициенты v в уравнении (23.26) являются произвольными функциями времени, означает, что в системе имеются так называемые калибровочные преобразования динамических переменных, которые не изменяют физическое состояние теории.
Зададим переменные (q, р) в момент времени і. Тогда в момент времени t+St эти переменные имеют значения q+Sq , p+Sp, причем изменение любой величины согласно уравнению (23.26) равно
Sg =д St = St [д, W} + Vj фі ] St. (23.27)
Так как коэффициенты v совершенно произвольны, то в момент времени t+St величина д определена неоднозначно, она определена с точностью до Stvj [д, ф^]. Преобразования любой величины д вида
д д+ SVjIg1 ф3\, ?-> 0 (23.28)
207 называются бесконечно малыми калибровочными преобразованиями. По общему смыслу обобщенной механики калибровочные преобразования не должны изменять физическое состояние системы. Последнее утверждение можно переформулировать следующим образом: любая физически наблюдаемая величина F должна быть ка-либровочно инвариантна, то есть должны иметь место равенства
Сформулируем полученные результаты.
Обычно анализ динамической системы в релятивистской теории начинается с построения лагранжиана. Лагранжиан является функцией неких координатных переменных q и их скоростей q. Выбор координатных переменных определяется физическими и прочими соображениями. Затем определяются импульсные переменные согласно (23.3), выявляются все связи (23.4) (первичные и вторичные). Все связи разделяются на две совокупности: первого и второго рода, причем число связей первого рода должно быть максимальным. После этого путем решения системы линейных уравнений (23.16) находится гамильтониан (23.25), который является величиной первого рода. Динамические уравнения (23.26) решаются совместно с наложением связей (23.4), и эта задача корректна. Корректность означает, что если в момент времени t уравнения для связей (23.4) удовлетворены, то вследствие уравнений движения уравнения (23.4) останутся в силе и в момент времени t + St. Это есть следствие того, что rH' и ф^ в уравнениях (23.26) являются величинами первого рода.
Теперь продвинемся дальше в развитии формализма. Это необходимо для перехода к квантовой теории. При квантовании возникает необходимость явного разрешения связей второго рода.
Чтобы понять, к каким последствиям приводит разрешение связей второго рода, допустим, что имеется одна пара простейших связей второго рода ?1 = 0 , pi = 0. В этом случае задача решается просто: переменные qi и pi полагаются равными нулю во всех величинах, а скобки Пуассона (23.9) соответственно изменяются так, что в результате наложения указанных связей новая скобка Пуассона определяется как
[F,^] = 0, j = 1, ..., J.
(23.29)
іл*г = Е
208 В общем случае наличия произвольных связей второго рода следовало бы действовать аналогичным образом: сначала найти новый набор канонических переменных {Qn, Pn }, в которых имеющиеся связи второго рода или их линейные комбинации принимают простой вид
Q5 = O, Ps = 0, s=l, ...,S, и затем переопределить скобку Пуассона согласно правилу
Однако в теориях, представляющих реальный интерес, отыскать явно описанные канонические переменные {Qn, Pn } практически невозможно. Тем не менее новая скобка Пуассона определяется явно:
[f,9Y =[f,9]-[f,Xs}cssl[Xs',g}. (23.31)
Здесь матрица cssi определена согласно (23.23). Скобка (23.31) называется скобкой Дирака. Очевидно, что скобка Дирака обладает свойствами (23.10) - (23.12). В работе [18] путем прямых вычислений доказано, что скобка Дирака удовлетворяет также и тождеству Якоби (23.13). Это означает, что скобки Дирака могут играть также роль скобок Пуассона.
