Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Множество точек X с целочисленными координатами х(, удовлетворяющими условию ^ xt = п, определяет решетку в гиперплоскости У} yt Упр( = 0. Размерность этой гиперплоскости равна т— 1. В метрике (И) длины всех векторов базиса решетки являются величинами порядка 1 /^п, следовательно, объем каждой элементарной клетки представляет собой величину порядка
n-(m-i)/2 Вероятность того, что точка X принадлежит какой-
либо области В, равна сумме вероятностей, соответствующих тем точкам решетки, которые принадлежат В.
Асимптотическая формула для этой вероятности легче всего выводится в случае а), когда область В определяется неравенством х1 < и. В метрике (11) В является шаром. Величину суммы (1) по точкам решетки, расположенным внутри шара, оценивал в свое время К. Пирсон, который впервые использовал в математической статистике квадратичную форму х2- Метод оценки суммы (1) заключается в следующем:
16 Б. Л. ван дер Варден - 1062
242 Гл. IX. Оценка параметров по наблюденным частотам
Сначала вероятности Р(Х) заменяют, по формуле (8), приближенными выражениями
1 — -х*
~е 2 (12)
7
(ошибка этого приближения является величиной порядка 1 /Уп). Затем сумму по точкам решетки заменяют интегралом от (12) по области В, деленным на объем элементарной клетки. При этом ошибка возникает, главным образом, вблизи границы В. Порядок величины этой ошибки снова равен 1/1In. Таким образом, в качестве приближенного значения для вероятности < и) получают интеграл
(2я (13)
где интегрирование производится по области %2 < и. Как мы уже видели в § 27, вычисление этого интеграла приводит к известному распределению с т—1 степенями свободы. Более подробный вывод можно найти в работе Пирсона1.
До сих пор в формуле (7) мы пренебрегали поправочными членами пдрядка 1 /Уп. Но если учесть эти члены, то окажется, что они никак не влияют на результат. Действительно,
е~Ь'1\-у±^ + 1 (14*
( 2 пр 6 «2р!)
является нечетной функцией от .. ., zm: при замене всех у{ на —У[ эта функция лишь меняет свой знак. Интеграл от нечетной функции по симметричной области %2 < м равен нулю. Следовательно, асимметрия распределения точек X почти не оказывает влияния на результат. Единственной ошибкой, которая при определенных условиях может стать величиной в точности порядка 1/1!п, является ошибка, возникающая вследствие замены суммирования интегрированием вблизи границы области ул < и-
б) Исследуем теперь распределение оценки наибольшего
правдоподобия ?. Сначала вместо И мы рассмотрим оценку
полученную методом минимума где
2 :1 (15)
AU npi
1 Pearson К., On the criterion that a given system of deviations ... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling, Philos. Mag., 50 (1900), 157. См. также Крамер Г., Математические методы статистики, ИЛ, М., 1948, гл. XXX.
§ 49. Асимптотическое распределение х2 и 6
243
В отличие от § 48, pt в знаменателях формулы (15) являются истинными значениями соответствующих вероятностей. Хотя на практике pt бывают неизвестны, однако при чисто теоретическом изучении функции распределения такая замена вполне уместна. Если $ = является для xi точкой максимума, то, согласно результатам § 48, в' и J отличаются друг от друга величиной порядка 1 /та.
Оценка х>' получается по методу наименьших квадратов: из точки .Х опускается перпендикуляр на линейное подпространство G, определяемое параметрическим представлением д(А). Если основанием этого перпендикуляра является точка X', то й' ¦— значение параметра соответствующее точке Х'ш
Уравнения для вычисления й' в общем случае г неизвестных параметров flj,. . ,,СГ были указаны в § 48. Если начало отсчета в пространстве параметров выбрать таким образом, чтобы pt(0) равнялись истинным вероятностям pt, то, согласно (8) § 48, уравнения для {¦[, . . .,v'r будут иметь вид
V h У — V (xt ~ nPi) Qiu /tfi\
Jm- > (16)
& I rl
где
к, =2"^- m
Из уравнении (16), во-первых, видно, что являются линейными функциями от наблюденных частот ht — x-Jn. Во-вторых, так как математические ожидания разностей X; — npj равны нулю, то математические ожидания оценок также равны нулю. Следовательно, оценки ip являются несмещенными.
Далее, гак как х{ — npt с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, представляют собой величины порядка ^та, a haP имеют порядок та, то с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, являются величинами порядка \ffn.
