Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
функцию распределения которого можно определить несколько легче, чем функцию распределения у"-
Теперь мы воспользуемся теорией, изложенной в § 48, причем в качестве р№ выберем р* и рассмотрим координаты
х; = пр;(д') (6)
гсчки минимума квадратичной формы
(П
§ 51. Критерий х2
253
Как доказано в § 48, оценки
р\=рю = i,
полученные методом минимума отличаются от соответствующих оценок наибольшего правдоподобия р величинами порядка 1/п. Поэтому пр в правой части (5) можно заменить на х', тогда Xi перейдет в Хо и асимптотическое распределение не изменится.
Следовательно, нам осталось лишь найти асимптотическое распределение xi- Вероятность события Хо < и снова равна сумме вероятностей по всем точкам X, принадлежащим
области xi < и¦ Как и в § 49, эту сумму можно заменить интегралом. В результате получится искомая асимптотическая функция распределения
Г-1*-
F(u) = (2я) 2 J ...)е 2 dVm_lt (8)
где интегрирование производится по области Хо < и-
Введем теперь прямоугольные координаты уъ . . ., ут таким образом, чтобы выполнялось равенство, аналогичное (11) § 49:
%2 = у\ + ¦ • • + У1.
Ортогональным преобразованием этих координат можно добиться, чтобы гиперплоскость 2 xi = п в новых координатах имела уравнение ут = 0; тогда переменными интегрирования будут У\у • ¦ ¦> Ут—i’ и мы получаем
m—l г* г* 1
F{u) = (2тг)~ ~2"J . . . J <Г 2 ^ + "'+ Ч~) dy,... dym_,. (9)
Теперь мы можем еще раз ортогонально преобразовать координаты таким образом, чтобы новые оси Оу„ . . , ОуТ лежали в линейном пространстве G, определяемом параметрическими уравнениями pt -= рДй); остальные оси будут тогда перпендикулярны пространству G. Компоненты точки минимума формы (7) в этих новых координатах можно вычислить особенно легко. Действительно, точка X' принадлежит G, следовательно, из ее координат отличными от нуля могут быть лишь у[,..., у'г\ остальные координаты у'г+],. . ., y'm-i равны пулю. В новых координатах форма xi имеет вид
Хо = (У1 — yi)2 + --- + (Уг — Уг? + У% 1 + ... + У1-1- (Ю)
Она достигает своего минимума, когда все разности у, — у[,. . .,
254 Гл. IX. Оценка параметров по наблюденным частотам
уТ — у'г становятся равными нулю. В этом случае первые г слагаемых суммы (10) исчезают, и мы имеем
Хо = Уг+i + • • • + У1-\- (И)
Следовательно, в (9) область интегрирования является цилиндрической. так как левая часть неравенства у2 < и зависит лишь от уг+1,. . ., Ут-Х- Если в (9) произвести интегрирование по ух,. . ., уг, то получим
- т-гг-- Г ( - I- + • ¦ • + и^_,)
F(u) = (2n) “ J . . . J в “ dyr+1...dym_,, (12)
где область интегрирования задается неравенством
У?+1+ +У1-1<и- (13)
Таким образом, F(u) действительно является функцией распределения х2 с т — 1 — г степенями свободы.
Общий критерий %2 можно теперь сформулировать так:
Если выражение превосходит границу, указанную в табл. 6 для т — 1 — г степеней свободы, то гипотезу, согласно которой истинные вероятности р* имеют параметрическое представление р($), следует отвергнуть.
В символе у2 волна введена только для того, чтобы ясно отличать у2 от истинного у2. В приложениях этим различием, как правило, пренебрегают.
Очень важным для приложений является вопрос, можно ли в правой части (4) вместо р = р(И) воспользоваться какой-либо другой оценкой р(У)?
Ответ гласит:
Если Т — асимптотически эффективная оценка (§ 50, конец) и поэтому \Т — г) | с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, является величиной высшего, чем 1 /У п, порядка малости, то в правой части (4) р можно заменить на р{Т) и затем применить критерий у2.
Доказательство очевидно. Если к пр в числителях (4) прибавить некоторые дополнительные члены высшего, чем 1 /Уп, порядка малости, то у2 изменится лишь на бесконечно малую величину, поэтому асимптотическое распределение останется неизменным.
Но если р заменить другими оценками, отличающимися от р величинами в точности порядка 1 /^п, то (4) может оказаться значительно больше х~- Отсюда мы видим, как важно пользоваться лишь асимптотически эффективными оценками.
§ 51. Критерий 255
Пример 35. Если мы хотим проверить изложенную в примере 34 (§ 50) гипотезу Ф. Бернштейна о группах крови О, А, В и АВ, то сначала можно найти оценки наибольшего правдоподобия для параметров р, q и г = 1 —
— Р— 9 и затем с помощью функций от этих оценок
Pi = г\ р2 = 2рг + р2, Рз = 2gr + д2, р4 = 2pq
04)
(ху — пргУ (Хъ — прг)г (х3—пр3)г (,г4 — ир4)2
Хг =------------Ь------------1-------------1-----------• (15)
