Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ту = л, - Ъг - Ъ, + Л4 = --------•--------------
представляют собой несмещенные оценки для С. Но если интересоваться не только смещением, а и дисперсией, то окажется, что оценка наибольшего правдоподобия значительно лучше всех остальных. Смещение оценки й является величиной порядка 1/га, и ее дисперсия, при больших п, асимптотически равна той наименьшей дисперсии, которая вообще возможна, согласно неравенству Фреше, для несмещенных оценок. Хотя Т0 и Ту представляют собой несмещенные оценки, однако их дисперсии значительно превосходят дисперсию С, причем эти оценки не являются асимптотически эффективными.
Фишер сравнивал друг с другом пять различных оценок Ту, . . ., Tt, где Ту совпадает с нашей оценкой Ту и Tt совпадает с оценкой Ъ. Ть является оценкой, полученной посредством минимизации
. v, (*/—”#)* • .
X = Л-------------= minimum.
npi
Исследования Фишера показывают, что только последние три оценки, Ts,Tt и Т5, являются эффективными в том смысле, что их смещения являются величинами высшего порядка малости по сравнению с I/]/п, а их дисперсии асимптотически равны той наименьшей дисперсии
2 _ ^ _ 0 ^п~т~п'
которая возможна для несмещенных оценок, согласно неравенству Фреше.
Позднее мы еще вернемся к вопросу об эффективности оценок наибольшего правдоподобия.
Пример 33. Произведено п выстрелов нз пушки по неподвижной точечной цели без перемены прицела, причем в к случаях наблюдался перелет, •а в остальных I случаях — недолет (к -J- I = п). В дальнейшем, когда мы будем говорить «высота выстрела», то под этим будет подразумеваться высота точки попадания снаряда в вертикальную плоскость, проходящую через цель перпендикулярно к направлению стрельбы. Пусть все высоты выстрелов — независимые, одинаково нормально распределенные случайные величины с известным квадратичным отклонением и неизвестным математическим ожиданием. Какую поправку нужно внести в установку пушки, чтобы среднее значение высот выстрелов было возможно ближе К высоте пели?
Если высоты выстрелов отсчитывать от горизонтальной плоскости, проходящей через цель, а квадратичное отклонение положить равным единице, то плотность вероятности для отдельной высоты выстрела будет иметь вид
, , . I (X-ft)'
g(xltx) = е 2
}f2n
Среднее значение этого распределения равно р., и поэтому искомая поправка равна —р.. Вероятность того, что данный снаряд перелетит цель, задается формулой
оо
j ff(*|/A) dx ф(р.).
о
§ 47. Состоятельность оценок наибольшего правдоподобия 22®
Вероятность того, что при п выстрелах к раз будет наблюдаться перелет, а остальные п — к раз — недолет, равна
достигает максимума при таком-значении р, котррое удовлетворяет уравнению
Следовательно, правдоподобное значение р выражается с помощью функции Ч*, обратной для функции Ф:
Если к =- 0, то р. - = — оо, если же к — п, то р. — + оо. И так как хотя бы одно из двух событий к = 0 и к = п обязательно имеет положительную вероятность, то для случайной величины р., строго говоря, не существует ни конечного среднего значения, ни тем более конечной дисперсии.
На практике этот недостаток можно, разумеется, легко исправить, если в обоих крайних случаях к = 0 и к = п заменить оценку р разумно выбранными конечными значениями; недь положение цели, более или менее грубо, всегда бывает известно! Однако прежний результат остается в силе, так как в данном случае дословное применение метода наибольшего правдоподобия при любом п приводит к оценке с бесконечно большой дисперсией.
Тем не менее оценка р является состоятельной1: при п-^оо она сходится по вероятности к истинному значению р.
§ 47. Состоятельность оценок наибольшего правдоподобия
При весьма общих предположениях оценка наибольшего правдоподобия является состоятельной. В § 45 мы ссылались на доказательство этого общего утверждения, принадлежащее Вальду и Вольфовицу. Теперь, когда в качестве результатов наблюдений рассматриваются частоты, мы постараемся исследовать этот вопрос несколько подробнее.
1 Если Iр (й) — непрерывно дифференцируемая функция параметра С, причем /р' (6)О, и если для д существует асимптотически нормальная и асимптотически эффективная оценка ?, то <р(д) будет асимптотически нормальной и асимптотически эффективной оценкой для <р(д) (см. N е у man J., Contribution to the theory of the x2> 1- Berkeley Sumpos. on Math. Stat., Los Ang. (1949), 239). Так как к/п — иаилучшая асимптотически нормальная оценка для Ф(р) и Ф'(р) i/- 0, то, в силу этой теоремы, р. = У?{к/п)
является не только состоятельной, но и, что Солее важно, асимптотически нормальной и асимптотически эффективной оценкой для р. — Прим. перев.
