Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(xt — nipt)а
§ 49. Асимптотическое распределение и й
239
§ 49. Асимптотическое распределение у2 и ? при п —» оо
Для простоты мы ограничимся случаем одного параметра С и постараемся исследовать поведение функции распределения оценки $.
Оценка д, найденная методом наименьших квадратов,представляла собой линейнуюфункцию результатов наблюдений xt. Так как предполагалось, что все х,- распределены нормально, то и оценка й имела нормальное распределение. В данном случае, однако, заявляются дискретными случайными величинами, распределенными лишь приближенно нормально, а сценка С представляет собой лишь приближенно линейную функцию результатов наблюдений Xj. Поэтому мы можем ожидать, что распределение {) будет лишь асимптотически нормальным при п—* оо.
Вероятность того, что наблюденная точка X с координатами
хi будет принадлежать области В пространства иксов, равна сумме всех вероятностей, соответствующих отдельным точкам области В:
При этом Pi = Pi{0) представляют собой истинные вероятности Р*> ¦ ¦ ч Рт' В дальнейшем эти вероятности мы будем обозначать без звездочек.
Для больших п выражение (2) можно преобразовать с помощью формулы Стирлинга и получить
(1)
где
(2)
или
где
1
7 = [finnY1-1 Pi.. .pmf. Логарифм у р(Х) равен
(4)
(5)
240
Гл. IX, Оценка параметров по наблюденным частотам
причем остаток, обозначенный отточием, представляет собой величину порядка 1 /п. Положим снова
Щ — nPi + г„ (6)
тогда г, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, будут являться величинами порядка fпр,. Поэтому
In [у p(Z)] = - ? \пр + г + + . . . =
= — У'[пр + « + -Н-_______________— + _!!_) + =
F ^ т2 )\пр 2п2р2 ~ Зетзрз ) ^ • * •
где остаток, обозначенный отточием, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, представляет собой величину порядка
1 /п. Если теперь обозначим
пр ’
то получим асимптотическое равенство:
— LvS 1 V z I 1 V г*
уР(Х) 2 -в ! в
2 * (1 — -1- V — L У.г!.| m
\ 2 jL-‘ пр & п2 рг) V*
Последние два члена в круглых скобках являются величинами порядка 1/1Гп. Эти члены мы рассмотрим несколько позднее, а пока ограничимся главным членом
__ }.%*
У Р(-Х) ~ е 2 , (8)
где
хг = 2'~-г)'. О)
Формула (8) показывает, что вероятность, соответствующая
точке X (хи . . хт), будет тем меньше, чем больше х, отличаются
от математических ожиданий пр,, так как с ростом абсолютных
величин разностей х, — npt функция %2 возрастает.
Как мы уже видели раньше, функция определяет эвклидову метрику в пространстве переменных хъ .. хт: эта функция, с точностью до множителя п, представляет собой квадрат расстояния между переменной точкой X с координатами х,/п и постоянной точкой Р с координатами р,. Согласно (8), чем дальше X удалена от Р, тем меньше будет вероятность, соответствующая
§ 49. Асимптотическое распределение х2 и $
241
точке X. В этой метрике поверхности с уравнениями % = const являются сферами с центром в точке Р. Если эти сферы (в случае т = 3) пересечь плоскостью х± + х2 + х3 = п, проходящей через точку Р, то в пересечении получатся концентрические окружности с центром в точке Р.
Так как с большой вероятностью разности х — пр являются лишь величинами порядка |/п, то х2 с большой вероятностью является величиной порядка единицы, т. е. для всякого г] > О найдутся такие В2 и п0, что при всех п> п0 вероятность события X1 < В2 будет больше, чем 1 —г). Поэтому при выводе асимптотических формул для вероятностей всегда можно ограничиться такой окрестностью точки Р, где х2 < В2.
В частности, мы хотим вычислить следующие вероятности:
а) функцию распределения квадратичной формы х2> т- е- ве_ роятность события х2 < и'у
б) функцию распределения оценки наибольшего правдоподобия 5.
В указанной окрестности точки Р введем новые координаты
= (10)
}npi
где все yt являются величинами порядка единицы. Тогда, в новых координатах, выражение для квадрата расстояния х2 = (РХ)2 будет совсем простым:
х2 = 2У- (п)
Следовательно, yt являются обычными прямоугольными координатами в пространстве с метрикой (11).
