Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Мы снова ограничимся случаем одного параметра И. Как мы видели, дисперсия асимптотического распределения оценки Ъ равна
Это, однако, не означает, что при га —> оо дисперсия С обязательно стремится к нулю. Как показывает пример 33 (§ 46), может даже случиться, что при всех п дисперсия будет бесконечной, следовательно, предел дисперсии будет также бесконечным. Формула (1) представляет собой не асимптотическую формулу для точной дисперсии, а формулу для асимптотической дисперсии оценки Ъ в смысле §45 Б. Кроме того, С является асимптотически несмещенной оценкой в смысле § 45 Б.
Сравним теперь асимптотическую дисперсию (1) с той наименьшей дисперсией, которая вообще возможна для несмещенных оценок, согласно неравенству Фреше. С этой целью предварительно вычислим «информацию»/^), которая, согласно § 37, определяется формулой
Таким образом, если производные от р( по V обозначим qt (ранее, в случае нескольких параметров, частные производные от pt обозначались qia), то получим
§ 50. Асимптотическая эффективность
где
/(i)) = g [?'(*№
(2)
и
L'(x I €) = ? У- x, Vi
<з>
Математические ожидания xtxk были вычислены в § 46: S(xi xk) = п(п — 1 )PtPk, если г ф к, g = п(п — I) pf + пр/.
(4)
(5)
§ SO. Асимптотическая эффективность
247
Поэтому
UP) =2’2>(n— 1) д, qk +2п~: ¦ (6)
i k i Pi
В формуле (6) двойная сумма равна нулю, так как (2 Qt)2 = О,
а второй член совпадает с hu. Следовательно, как и в теории наи-
меньших квадратов,
т = *и. (7)
Согласно неравенству Фреше для дисперсий несмещенных оценок,
О-2 г» = ~= Л11 = - . (8)
J(tf) h а п '
Оценка й является асимптотически несмещенной и, в силу (1), ее асимптотическая дисперсия равна с2/п. Следовательно, оценка
Ъ, в указанном смысле, асимптотически эффективна.
Это не означает, что среди всех асимптотически несмещенных оценок tf обладает наименьшей асимптотической дисперсией. Можно (подобно тому, как это делалось в §45 Г) построить пример асимптотически несмещенной оценки, асимптотическая дисперсия которой при некоторых значениях И будет меньше, чем 1//(в). Минимальность дисперсии оценки И можно доказать лишь в классе асимптотически несмещенных оценок, удовлетворяющих условиям регулярности. С этим доказательством мы должны теперь познакомиться ближе.
Если левую часть уравнения правдоподобия (14) § 48 разделить на п, то, отбрасывая у qia индекс а, получим
V'lA' — Pt(#)] 4i _ q /д\
i РАО)
Это уравнение не содержит xt и п в явном виде, а зависит лишь от частот Л,. Следовательно, оценка наибольшего правдоподобия Ъ является функцией одних только hr Более того, если точка с координатами Л; расположена вне области маловероятных отклонений от истинных значений ри . . .рт и ht не слишком близки к нулю, то й заведомо будет дифференцируемой} функцией частот ht.
1 Частные производные от 0 по hk имеют вид
- = — - v_?*_ л- 1
dhk Pk(V) _ i Pi(V) .
Сформулированные автором условия нужны главным образом для того, чтобы Рк(6) не обращались в нуль. — Прим. перев.
248
Гл. IX. Оценка параметров по наблюденным частотам
В качестве оценок, конкурирующих с й, мы рассмотрим лишь такие оценки Т, которые являются дифференцируемыми функциями от Лг. Эти оценки мы будем называть регулярными. Таким образом, пусть Т — асимптотически несмещенная, регулярная оценка. Мы хотим сравнить асимптотические дисперсии оценок Т и 5.
Как нам >же известно, точка (Aj,. . ., hm) с большой вероятностью расположена в некоторой окрестности точки (ру, . . .,рт), причем диаметр окрестности при п -»оо является бесконечно малой величиной, В такой окрестности каждую дифференцируемую функцию можно аппроксимировать линейной функцией. Полезным линейным приближением для д является ранее определенная оценка 5'; пусть
я” = 24 л» (Ю)
— линейная аппроксимация для Т.
Асимптотическое распределение дифференцируемой функции Т совпадает с асимптотическим распределением линейной функции Т' так же, как совпадают асимптотические распределения € и €'. Доказательство проводится тем же методом, что и раньше, причем асимптотическая формула для функции распределения Т' выводится так же, как и для Мы снова должны просуммировать вероятности Р(-Х) по всем точкам некоторого полупространства. Суммирование заменяется интегрированием, а вероятность Р(-Х)— плотностью нормального распределения
_ —X*
