Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, в силу того, что я,- распределены приближенно нормально, следует ожидать, что ?а распределены также приближенно нормально. При доказательстве мы снова ограничимся случаем одного параметра € и постараемся вывести асимптотическую формулу для вероятности события С' < t/fn при та —»оо.
Оценка ?' представляет собой значение параметра, соответствующее точке X', которая является проекцией наблюденной точки X на прямую G (см. рис. 24). Пусть Р($) — точка с координатами Pi(i>), принадлежащая прямой G. Рассмотрим точки Pt = P(t/Yn) и X' — Р^1). Для всех удовлетворяющих неравенству С < < tj]jn, соответствующие точки X' расположены на прямой G по одну сторону от точки Pt. Поэтому й' < t/ln тогда и только 16*
244 Гл. IX. Оценка параметров по наблюденным частотам
тогда, когда наблюденные точки X расположены в полупространстве, ограниченном гиперплоскостью Н(, проходящей через точку Pt перпендикулярно к прямой G.
Выкладки станут проще, если предварительно с помощью линейного преобразования ввести новые прямоугольные координаты уи ¦ ¦ ут таким образом, чтобы ось 0yL совпадала с прямой
G. Точка Pt тогда будет иметь координаты yt = at, у2 = ... = = ут = 0, а полупространство, ограниченное плоскостью Ht, будет определяться неравенством ух < at.
Искомая вероятность представляет собой сумму вероятностей PW по всем точкам решетки, расположенным в полупространстве. Р(Х) можно снова приблизить выражениями (8) или (12), а сумму заменить интегралом. Таким образом, получим интеграл вида
(2Я =
= (2п) ^y' + '" + V'J dVm_lr
(18)
где область интегрирования В представляет собой часть гиперплоскости 2 xi = п> расположенную в полупространстве ух < at. При этом если В выбрано достаточно большим, то безразлично, производится ли интегрирование по всей полуплоскости или только по части полуплоскости, лежащей внутри шара < -й2. Если в (18) выполнить интегрирование по у2,. . то вместо
(18) останется интеграл
at
^Jr^cfc-ФИ). (19)
— оо
Следовательно, распределение оценки S' является асимптотически нормальным.
Для того чтобы нормальное распределение было полностью определено, нам нужно еще найти множитель о. Как видно из рис. 24, величина координаты ух = at равна расстоянию PPt в метрике (15), т. е.
J [pf—PffyMl 2 ,
п! — X2 _ п V L \уп /\ _ Vf,i _ ii! (оп\
а “ й ' { ’
Асимптотическая формула для вероятности события С' < tpfn задается интегралом (19). Если положим tj]/n = t' и а \!п = а' , то, в силу равенства a t = a't', асимптотическое распределение оценки С' будет задаваться функцией
ф(а t) = Ф(а't') ~ р(С' < Г).
§ 49. Асимптотическое распределение xs u А2
245
где
а' = а |/те = f Au . (21)
Следовательно, асимптотическое квадратичное отклонение для в' равно
Точно так же, в случае г параметров t. . ., г)Л, квадратичное отклонение оценки t)a равно
cra = (23)
где (А°Р) — матрица, обратная матрице (haP). Формулы (22) и (23) вполне аналогичны формулам § 31. Для доказательства справедливости формул (23) можно, например, с помощью обратной матрицы найти решение г)' системы (16), возвести в квадраты и вычислить соответствующие средние значения. Так как (t)a)2 представляют собой линейные комбинации случайных величин вида xf и ж, Xj, то при вычислении &(ь'а)2 можно будет воспользоваться ранее найденными точными формулами (1) и (2) § 46. При этом окажется, что (22) и (23) являются не только асимптотическими формулами при п —> оо, но и точными. Попутно заметим, что, согласно (17), пропорциональны п, нсэтсму элементы обратной матрицы haP пропорциональны 1/п. Отсюда следует, что квадратичные отклонения, вычисленные по формулам (23), являются величинами вида cffn.
После того, как асимптотическое распределение \>’ найдено, переход от в' к д не представляет труда.
Если положим
e=fi'+i7, (24)
то, согласно результатам § 48, 17 с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, будет являться величиной порядка 1/п. Умножив правую и левую части (24) на fn, получаем
0 fn = \S’fn -f 17 ^п. (25)
Первое слагаемое представляет собой асимптотически нормальную случайную величину с нулевым средним значением и дисперсией, не зависящей от п, а второе слагаемое по вероятности стремится к нулю при п —> со. Следовательно, к сумме (25) применима элементарная предельная теорема из § 24 Ж- Таким образом, оценка наибольшего правдоподобия € распределена асимптотически нормально с тем же средним значением и с той же дисперсией, что и ь’.
246
Гл. IX. Оценка параметров по наблюдьнным частотам
Это же самое заключение справедливо для всех тех оценок, которые с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, отличаются от V или С величинами порядка 1/п. Поэтому, например, оценка по методу минимума Хх и все оценки по методу минимума Хо являются асимптотически нормальными случайными величинами с тем же средним значением и с той же дисперсией, что и 0.
