Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Основные математические понятия я излагаю по возможности кратко и, смею надеяться, попятно. В некоторых случаях оказываются необходимыми длинные теоретические выводы, однако там, где это представляется возможным, более трудные доказательства будут заменяться ссылками на существующие хорошие учебники. Не имеет смысла вновь развивать математические теории, обстоятельно и ясно изложенные Колмогоровым, Каратео-дори и Крамером.
Предполагается, что читателю известны элементы теории функций и теории интеграла Лебега. Это, конечно, не означает, что без такой подготовки читатель не сможет понять эту книгу: он должен будет лишь некоторые теоремы принять без доказательства или ограничиться изучением тех более элементарных разделов, в которых предполагаются известными только дифференциальное и интегральное исчисления и аналитическая геометрия (гл. I—IV и X—XII).
Эту книгу следует рассматривать лишь как введение в математическую статистику, не претендующее на полноту изложения. Многие важные разделы теории, такие, как последовательный анализ, теория решающих функций и вероятностные процессы, автор вынужден был целиком опустить. Этим теориям посвящены специальные труды выдающихся специалистов, например
Wald Л., Sequential analysis (Wiley), New York, 1947;
8
П редисловие
Wald A., Statistical decision functions (Wiley), NewYork, 1950;
Doob J. L., Stochastic processes (Wiley), New York, 19531.
Дальнейшая литература указана во многих местах книги, причем ссылки делаются там, где это представляется удобным или полезным — непосредственно в тексте или в подстрочном примечании. Новая мода па литературные ссылки в конце главы или даже в конце книги неизбежно влечет за собой пугающую необходимость постоянного перелистывания страниц. Я не стремился к единообразию литературных ссылок и избегал чрезмерных сокращений.
Первая редакция этой книги возникла в 1945 г. Она служила пособием для курса теории ошибок и статистики в лаборатории нефтяной компании «Роял дач Шелл» в Амстердаме. Последующая редакция была критически прочитана доктором Е. Бачелетом (Базель). Ему, а также профессору Е. Л. Леману (Беркли) я очень благодарен за чрезвычайно цепные замечания. Я благодарен также г-ну X. Р. Фишеру и г-ну Е. Нивергельту (Цюрих) за выполнение рисунков и участие в правке корректур.
Сентябрь 1956. Б. Л. ван дер Варден
1 Имеется русский перевод: Д у б Дж. Л., Вероятностные процессы, ИЛ, М., 1956. — Прим. перев.
Логическая структура книги.
Штриховые линии указывают, что для понимания соответствующих глав изучение предшествующих глав полезно, но не является необходимым.
ВВЕДЕНИЕ
В старых трудах о количественных закономерностях в массовых совокупностях понятия частоты, среднего значения, дисперсии и т. д. развивались лишь для конечной совокупности. О понятии бесконечной совокупности не возникало и мысли. Английские и американские статистики, напротив, каждую статистическую совокупность воспринимают принципиально как случайную выборку из неограниченной совокупности возможностей. Частота события в этом понимании является лишь оценкой для вероятности события, а эмпирическое среднее (выборочное среднее) — оценкой для идеального среднего значения, или математического ожидания. С этой точки зрения узловым вопросом математической статистйки является вопрос: как далеко могут отклоняться величины, вычисленные по выборке, от соответствующих идеальных значений?
Так сложилось к настоящему времени убеждение в необходимости построения математической статистики на основе теории вероятностей.
Теория вероятностей как точная математическая теория в надлежащем объеме впервые была построена А.Н. Колмогоровым. В дальнейшем мы будем опираться на аксиоматику Колмогорова, не заботясь о происхождении понятия вероятности. Эта теория, построенная чисто математически, оправдывается в приложениях так же хорошо, как Эвклидова геометрия или Ньютонова механика; этого вполне достаточно. Философское объяснение понятия вероятности, несомненно, интересно и важно, однако оно едва ли уместно в таком учебнике, как этот.
Логическая структура этой книги изображена в приведенной выше схеме.
Главы I—VI посвящены аксиоматике теории вероятностен по Колмогорову и ее различным статистическим приложениям, в том числе теории доверительных границ для неизвестной вероятности и доверительной зоны для неизвестной функции распределения, различным простым вариантам критерия х2, гауссовой теории ошибок и критерию Стыодента. В главах I, III и V излагаются вспомогательные математические средства; гл. II, IV и VI посвящены статистическим приложениям.
12
Введение
Центральную часть книги образуют два больших, взаимно связанных раздела: Теория оценок (гл. VII—IX) и Теория проверки гипотез (гл. XI, XII).
Отправным пунктом теории сценок является способ наименьших квадратов, развитый Гауссом. Гаусс указал два обоснования этого способа. Первое из них формулируется так: паиверо-ятнейшим значением неизвестного параметра является такое значение, для которого вероятность наблюденного события будет наибольшей. Второе обоснование, которому сам Гаусс отдавал предпочтение, исходит из того требования, что оценки должны иметь возможно меньшие средние ошибки.
