Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Б. СОБЫТИЯ
Если желательно математически уточнить употребление формальных операций АВ, А, А + В и А + В, то имеются два пути: поле событий можно рассматривать либо как булевскую алгебру, либо как тело множеств.
В первом понимании «события» являются неопределяемыми объектами, и указанные операции должны лишь удовлетворять определенным аксиомам (см. С. Caratlreodory, МаВ und Integral, Basel, 1956).
Во втором понимании «события» являются подмножествами множества Е, причем АВ является пересечением, А — дополнением, А 4- В — объединением.
Оба подхода эквивалентны, так как по известной теореме Стоуна1 каждая булевская алгебра изоморфна некоторому телу множеств. Первый подход, может быть, естественнее (см. Кар-pos Г>. Л., Zur mathematischen Begriindung der Wahrscheinlich-keitstheorie, Sitzungsber. Bayer. Akad. Mimohen, 1948), но второй математически проще. Поэтому, следуя Колмогорову2, мы будем все «события» трактовать как множества «элементарных событий».
1 См. Stone М. П., Trails. Amer. matli. Soc., 40 (1936)* 37, нлн Hermes Н., Einfuhrung in die Verbandstheorie, Springer-Verlag, 1955, § 20.
2 См. Колмогоров A. II., Основные понятия теории вероятностей, ОНТИ, М., 1936, а также Reie lien bach Н., YValirseheinlicli-keitslehre.
§ 1. Основные понятия теории вероятностей 15
В этом понимании Е является множеством всех элементарных событий, которые в данной ситуации можно рассматривать как возможные события.
В. ВЕРОЯТНОСТЬ
В основу теории вероятностей по Колмогорову можно положить следующие аксиомы1:
1. Если А и В — события, то А, АВ и А 4- В тоже события.
2. Каждому событию А можно поставить в соответствие действительное число Р(Л)в»0.
3. Е является событием с Р (Е)= 1.
4. Если А и В несовместны, то
р (А + В) = р( А) + Р (В).
5. Если все события последовательности А±, А2>... не могут осуществиться одновременно, то
Пт р( А2 -- АП) = 0.
л—>00
Из аксиом 3 и 4 следует, что
P(I) = 1-P(J) (1)
и поэтому PU) не превосходит единицы:
0^Р(А)^\. (2)
Далее, если А1,..., Ап взаимно несовместны, то имеет место теорема сложения:
р(Л ¦{•... -г Л) = р(А) + ¦ ¦ • + Р(А). (3)
Из аксиомы непрерывности 5 следует, что теорема сложения также справедлива для бесконечного количества событий; если
А = А± А2 -\- ... является событием, то
Р(Л) = Р(А) + Р(А) + ••• (4)
Очень простые доказательства этих теорем имеются в цитированной монографии Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей».
1 Формулировка аксиом у автора несколько отличается от формулировки, данной в указанной выше работе А. II, Колмогорова. — Прим. ред.
16 Гл. I. Общие основы
Г. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Пусть Р(^4) ф 0. Условная вероятность события В в предположении, что событие А произошло, определяется равенством
PUB)
(5>
Отсюда следует, что
НАВ) = ?{В\А) р(Л). (6)
Последняя формула справедлива также- н для Р(/1) = 0; множитель р(2?| А) в этом случае может быть любым числом.
В приложениях, как правильно заметил Рихтер1, условная вероятность Р(.6| А) почти никогда не вычисляется по определению (5), а делаются какие-либо предположения о р{В\А). на основе которых по формуле (6) вычисляется ф(АВ) (как в случае, изложенном в примере 3). Собственно говоря, следовало бы отказаться от определения условной вероятности р(2?| А) равенством (5) и включить ее в число неопределяемых понятий аксиоматики. В этом случае (6) можно бы было принять за аксиому.
Однако в этой книге мы не будем заниматься вопросами аксиоматики н, следуя Колмогорову, примем (5) в качестве определения.
Пример 3. Из урны, содержащей г белых и N — г черных шаров, поочередно извлекаются 2 шара (без нозвращення). Какова вероятность: а) при верном извлечении получить белый шар, б) прп первом и втором извлечениях получить белые шары, в) при втором извлечении получить белый шар? При этом предполагается, что шары в урне хорошо перемешаны, так что вероятность извлечь определенный шар одинакова для всех шаров. Предполагается также, что условная вероятность извлечь но второй раз какой-либо шар, если при первом извлечении уже получен некоторый определенный шар, одинакова для всех оставшихся N — 1 шаров.
Обозначим Aj событие, которое заключается в том, что прп нервом извлечении появится шар с номером j, и Вк — событие, которое заключается в том, что при втором извлечении появится шар с номером к. Из указанных предположений следует, что
