Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
х р(ЛЕ) — lim kh р(ВЕк). (5)
J h—>0 А' = — оо
В
Если, в частности, положим, В--Е, то (5) перейдет в (4).
В теории интеграла Лебега доказывается, что сумма х \ у
двух измеримых функций х н у также измерима и что интеграл
i? 3. Среднее значение и квадратичное отклонение
25
этой суммы по любому измеримому множеству В равен сумме интегралов слагаемых;
{ (ж -г У) РidE) = [ж Р(dE) +1у P(dE). в в в
При этом предполагается, что оба интеграла в правой части
равенства конечны. Доказательство можно найти в книге С.
Caratheodory, «Vorlesungen iiber reelle Funktionen», или в новой книге того же автора «МаВ und Integral».
Если, в частности, выбрать В = Е, то из последнего равенства будет следовать, что среднее значение суммы равно сумме средних значений слагаемых, если эти средние значения конечны:
б (ж - у) = ? ж + ? у (6)
и аналогично для произвольного числа слагаемых
&(хг + ,.,^ж„) = 6ж1 + ...+6ж„. (7)
Если с — постоянная, то очевидно, что
?(сж) = с ? ж. (8)
Для краткости мы иногда будем обозначать ?ж = ж.
Б. НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пара или более случайных величин ж, у, . . , называются независимыми, если для любых действительных чисел события
ж < t, у < и, . . .
являются независимыми. Из независимости событии ж < t, у < и, .. . следует, что события
а =? ж < Ъ, с у < d, . . .
также будут независимыми и поэтому, если речь идет, например,
о двух независимых величинах ж и у, справедливо равенство
Р(a =s ж <Ъ, с ^у < d) = р (а ^ х < Ъ) р(с «1/ < d).
В этом случае среднее значение произведения равно произведению средних значений:
?(ж у) = ? ж • С у (9)
и аналогично для произвольного числа независимых случайных величип
?(жх ж2. . . хп) = жх ж2. . . ж„. (10)
Доказательство см., например, в книге Л. Н. Колмогорова «Основные попятия теории вероятностей», стр. 69, формула (6).
2G
Гл. I. Общие основы
В КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ
Квадратичное отклонение о- = (гх случайной величины х определяется как положительный квадратный корень из дисперсии
Вычисляя правую часть (11) по формулам (7) и (8), получим
Если х и у независимы, то средний член обращается в нуль:
Эта формула справедлива и для разности двух независимых случайных величин:
В случае произвольного количества попарно независимых величин дисперсия суммы а? = + . . . •+- хп равна сумме дисперсий
слагаемых
Для вычисления средних значений и дисперсий полезна следующая формула, являющаяся обобщением формулы (2):
В § 4 мы рассмотрим дальнейшее обобщение этой формулы и дадим ее доказательство. Теперь же мы рассмотрим пример применения этой формулы.
Пример 4. Случайная величина х имеет гауссову плотность вероятности
Q(x — х)2 = &(х2 — 2гс х + х2).
(11)
<Г* = 6(гс2) - 2гс2 + гс2 = &(х2) - (g гс)2. Если с — постоянная, то очевидно, что
0~Сх —¦ ^
Для дисперсии суммы имеет место равенство
(12)
(13)
°1+г = &(х — х + у — у)2 =
= 6(гс — х)2 + 2g [(х —х)(у — у)] + С(у — у)2.
6[(гс— х) (у — у)] =&(х— х)&(у — у) = О,
и мы получаем
(14)
П •
.2
(15)
С g(x) =\g(t)f(t) dt.
(16)
§ 3. Среднее значение и квадратичное отклонение
27
Каковы среднее значение и квадратичное отклонение ас? Согласно (2), среднее значение равно
-If
* = ( 1 /(0 dt = —— lie 2 dt = 0.
J y^rJ
—oo —oo
Дисперсия о-2 равна среднему значению случайной величины (ас — О)2 = х2. Если мы положим g(t) — t2 и применим формулу (16), то получим
| = g(a;S) = J t* /(«) dt = ^ ( f2 е г1 dt.
У2я
Интегрируя по частям, найдем
-------------t е
— Z-1
1 400 1
1. #»т-. — ~ 1
У2л
+ оо j
-оо+ у 2
следовательно, о- = 1. В общем случае
1
1 (i-a)1
dt = 0 + 1 = 1,
/(*) = -т-е 2 с' • с У2 л
Поступая так же, как и раньше, найдем, что ? ас — а и о- — с. Поэтому впредь мы всегда будем вместо с писать о-:
