Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В примере 1 (§ 1) общее число очков, гыпагшее при троекратном бросании игральной кости, является случайной величиной, принимающей конечное число значений (от 3 до 18). В примере 2 обе координаты х.у точки попадания —случайные величины.
Б. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Если х — случайная величина, a t изменяется от —оо до + оо, то вероятность события x<t представляет собой неубывающую, непрерывную слева функцию от t, которую мы, следуя Колмогорову1, назовем функцией распределения F(t) величины х:
F(t) = p(x<t). (1)
Функция F(t) стремится к нулю при t — оо и к единице при t —> -г оо. Это легко выводится из аксиомы непрерывности 5.
Wi
Рис. 1. График ступенчатой функции.
Если t стремится к а слева, то F(t) стремится к F(a), но если t стремится к а справа, то F(t) стремится к р(ж «= <). Разность этих пределов
AF(a) = F(a -f 0) — F(a — 0)
является вероятностью того, что х в точности равна а. Далее для а < Ь имеем
F{h) — F(a) = р(а =в х < Ь), (2)
1 Другие авторы определяют F(t) как вероятность события х =e t. В этом случае V(t) непрерывна справа.
2*
20
Гл. I. Общие основы
Для приложений особенно важны два случая. Если величина х принимает лишь конечное число значений f1( t2,. . tn с вероятностями pj, p.2l . . ., рп, то F(t) представляет собой ступенчатую функцию, график которой в точке t = ti имеет скачок, равный по величине р;.
в. плотность ВЕРОЯТНОСТИ
В другом случае, когда F(t) непрерывно дифференцируема,
F’{t) = т.
О^гласно (2), тогда
ь
Р(a х < Ъ) = F(b) — F(a) = J f(t.) dt. (3)
a
Из (3) предельным переходом при а —оо получаем
ь
?(х<Ъ) = F(b) = J /(/) dt. откуда предельным переходом при Ъ —> оо находим
оо
\f{t)dt^\. (4)
Функция f(t) называется плотностью вероятности величины х. Выражаясь популярно, но неточно, можно сказать, что f(t)dt есть вероятность того, что х заключена в пределах между t и t -f dt.
Г. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Известным примером плотности вероятности является гауссова функция ошибок
/(О = е , (5)
с
Рассматривая вместо х величину (х — а)/с, можно для этой величины получить плотность вероятности более простого вид;|
«У Случайные величины. Функции распределения 21
Па рис. 2 сверху изображен график этой функции. В § 12 будет доказано, что
J оо
I' _!|. г___
2 dt = |/2тг, (7)
поэтому функция (6) удовлетворяет условию (4). Соответствующая функция распределения имеет вид
t
ф(0 = n-L- Г е~ -"dr (8)
\ 2л J
(см. рис. 2 снизу, а также табл. 1 в конце книги).
Р и с. 2, График гауссовой функции ошибок.
Название «гауссова функция ошибок» основано на тем, что, по Гауссу, плотность вероятности для случайных ошибок астрономических наблюдений выражается формулой (5). Однако имеется много других случайных величин, плотности вероятности которых точно или приближенно выражаются этой формулой. Поэтому функции (6) п (8) заслуживают более подробного изучения.
Для вычисления интеграла ошибок при не слишком больших значениях t плотность f(t) разлагают в бесконечный ряд
22
Гл. I. Общие основы
НА __ _t± д_ *________________|
’ ~ У2л 1 2 ' 2! 2* 3! 23 ^ ‘ ‘ 'J
и интегрируют: f
«ко -4+1IV) ¦# = j + у=- (' - й + s?:a - ¦ ¦ ¦) ¦ (9)
о
Для больших t имеется асимптотическое разложение, которое получается следующим образом. Имеем
-Ф(«)
Если положить т'2/2 = я и t2/2 = ад, то интеграл примет вид
оо
(10)
|/ 7Т J
2 У
U
Интегрируя по частям, найдем
оо оо
л__1 _ _i п Г _ _ i
I е * а; 2 dx — е “ и 2 — 2 е *3' 2 dx =~ е и 2 — К,, (II)
