Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
PU,) = ^
м
р(Bk\Aj) = —L_ (.; , *¦).
Согласно правилу умножения (6), вероятность появления прп первом извлечении шара с номером j и при втором извлечении шара с номером к одинакова для всех пар (j, к) с j^/C- к, а именно
Р( А , Вк) = А • —-— .
1 к X X — 1
1 Richter Н., Grundlegung dor Waluscheinlichkeitsrechnung, Math. Aimalon, 125 и 126. C.v. также F i n s 1 о r P., Klonu’iitс dor Math., 2 (1947), 112.
§ 1. Основные понятия теории вероятностей
17
Количество пар, у которых первый шар белый, равно г (N — 1). Следовательно, вероятность появления белого шара при первом извлечении равна
г(Х — 1) г
л’(л- — 1 j= ЗТ
Аналогично количество пар, у которых второй шар белый, равно г (Ат — 1), поэтому вероятность появления белого шара при втором извлечении равна rjy. Наконец, число nap (j, к) шаров белого цнета равно г (г— 1), следовательно, вероятность того, что оба раза поянятся белые шары, равна
Hr - 1)
N(N — 1) '
Д. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Предположим, что при некотором опыте могут осуществиться взаимно исключающие друг друга события А1з. . ., Ап, сумма которых является достоверным событием:
Е = + .. . Ап.
Согласно (3) и (6), для любого такого разложения имеет место формула полной вероятности
Р(Д) -2Р(А)Р(Я!А). (7)
к
Е. НЕЗАВИСИМОСТЬ Пара или более таких разложении Е = Аг -j- А2 -I- . .. Ь Ап, Е — Вг -)- -f- . .. + Вт,.. .
называются независимыми, если для всех h, г,. . к справедливы равенства
Р(А Bt... Dk) = ?{Ah) Р (В,) ... Р (Dk). (8)
События А, В,. . ., D в конечном числе называются независимыми, если независимы разложения Е = А + А, Е = В + В,. .., Е = D + D.
В этом случае справедливы равенства
Р(АВ. . . D) = P(J) р (В).. . р (D),
Р (АВ ...П) = Р(А) Р (В) . . . р (В) и т. д.
В приложениях независимость обычно не определяется равенством (8), а постулируется. Два опыта полагают независимыми, если исход одного практически исключает какое-либо влияние на исход другого.
2 Б. Л. ван дер Варден 1062
18 Гл. I. Общие основы
Ж. БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ
Бесконечная сумма Аг Л2+... несовместных событий не обязана являться событием и иметь вероятность. Однако методами лебегоЕСкой теории меры можно расширить тело «событий» до тела «измеримых множеств», определив, таким образом, для этих множеств А* меру р*(А'*), что в расширенной области снова будут иметь место аксиомы 1—5 и для исходных событий А мера Р* будет совпадать с вероятностью р:
р*(А) = Р (А).
Если, кроме того, вероятность Р(А) зависит от неизвестного параметра С, то рассматривают лишь такие множества А*, которые измеримы при всех значениях С.
Каждая сумма счетного числа множеств А* является снова множеством типа А*, причем имеет место теорема о полной аддитивности:
р*(А* + А$+ ...) = Р*(А*) -г Р*(Л*) + • ¦ • • (9)
Доказательство этой теоремы см., например, в книге С. Сага-theodory, Vorlesungen iiber reelle Funktionen (1918), p. 237—2581.
В дальнейшем, если это потребуется, мы будем предполагать указанное расширение тела событий выполненным, не отмечая звездочками различие между новыми множествами и их мерами, с одной стороны, и исходными событиями и вероятностями — с другой. Таким образом, впредь будет предполагаться, что сумма событий Аг + А2 + • • • снова является событием и что для счетных сумм справедлива теорема сложения.
§ 2. Случайные величины. Функции распределения
А. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Случайной величиной, или стохастической переменной, называют величину, значение которой зависит от случая. Точнее: пусть х — действительная функция, определенная па множестве Е, такая, что для каждого элементарного события ? значение а?(?) является действительным числом. Пусть, далее, эта функция измерима в том смысле, что для любого действительного числа t множество тех ?, для которых х<(, является измеримым множеством. Мы условились, однако, рассматривать каждое измеримое множество как событие (в расширением смысле). Следовательно, предположение измеримости означает, что для любого t множество тех для которых x<t, представляет собой событие.
1 О полной аддитивности меры см. также Халмош П., Теория меры, ИЛ, М., 1953. — Прим. перев.
§ 2. Случайные величины. Функции распределения
19
Простейшим является случай, когда множество Е представимо в виде конечной суммы частичных множеств
Е = Ах -\- Аг Ап,
причем на каждой части Ак функция х принимает постоянное значение хк. Если Ак являются событиями, то требование измеримости выполняется.
