Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Р. А. Фишер распространил оба этих обоснования на значительно более общие проблемы отыскания оценок. Требование наибольшей вероятности наблюденных значений приводит к оценкам наибольшего правдоподобия, а требование наименьшей средней ошибки — к понятию эффективных оценок. В широком классе случаев принцип максимального правдоподобия приводит действительно к эффективным оценкам. Уточнение этого понятия и точные доказательства по Фреше, Рао, Леману и Шеффе будут даны в гл. VIII, а применения к наблюденным частотам — в гл. IX.
Современная теория проверки гипотез берет свое начало от критерия х2 Пирсона и критерия t Стьюдента. Р. А. Фишер расширил область применения этих методов. Он ввел понятие «степеней свободы» и вскрыл взаимосвязь с теорией оценок, указав на то, что в критерии х2 следует пользоваться только эффективными оценками. Точные доказательства его утверждений даны Нейманом и Е. Пирсоном. Ими сформулированы также общие принципы, лежащие в основе современной теории критериев-Все это будет изложено и пояснено на примерах в гл. XI.
В теории ранговых критериев (гл. XII) также выявляется ценность этих принципов. Однако математические вспомогательные средства, необходимые для понимания этой главы, здесь много скромнее: они главным образом ограничиваются материалом гл. I и II и предельной теоремой из гл. V.
Обработке результатов биологических испытаний посвящена гл. X. И хотя здесь речь идет о задаче теории оценок в смысле гл. VIII, подготовительный материал также исчерпывается содержанием гл. I и II.
Заключительная гл. XIII посвящена коэффициентам корреляции и ранговой корреляции. Как видно из схемы логической структуры книги, здесь предполагается известным лишь содержание гл. I—VI.
ГЛАВА 1
ОБЩИЕ ОСНОВЫ
Изучение этой главы безусловно необходимо.
§ 1. Основные понятия теории вероятностей
А. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ РАЗЪЯСНЕНИЕ И ПРИМЕРЫ
В теории вероятностей рассматриваются события, наступление которых зависит от случая и вероятности, которые могут быть выражены числами.
Понятие вероятности является статистическим понятием. Для выяснения статистического смысла этого понятия следует многократно реализовать те условия, при которых может осуществляться определенное событие, и установить, с какой частотой это событие осуществляется. Если вероятность осуществления события равна р, то это означает, что в ряду из п таких повторений событие наступает в среднем пр раз. Конечно, число наступлений события совершает колебания около среднего значения пр, которые мы позже оценим точнее.
События обозначаются большими буквами А, Д.... Введем следующие обозначения.
АВ (читается: А и В) — событие, которое осуществляется тогда и только тогда, когда А и В осуществляются одновременно.
А (читается: отрицание А) — событие, которое осуществляется тогда и только тогда, когда не происходит событие А.
Е — событие, которое осуществляется всегда.
А В (читается: А или В) — событие, которое осуществляется тогда и только тогда, когда осуществляется либо А, либо В, либо оба эти события одновременно.
Если А и В несовместны, т. е. не могут осуществляться одновременно, то вместо А + В пишут А + В (читается опять: А или В). Аналогично в случае любого конечного, а также и бесконечного числа попарно несовместных событии
Вероятность события А обозначается р(4). Следующие примеры поясняют употребление этих понятий.
П
Ai + •••-)- А
v А
14 Гл. I. Общие основы
Пример 1. Игральная кость бросается три раза. Событиями являются все мыслимые результаты таких бросаний, как, например, (6, 1, 1), или все комбинации таких результатов, связанные словом «или»: например, «(6, 1, 1) или (4, 5, 6)» является событием, а именно суммой событий (6, 1, 1) и (4, 5, 6). Вероятность ныпадепия б очков при первом бросании не обязательно равна г/6: кость может оказаться фальшивой и иметь случайные неправильности. 1:сли она приближенно симметрична и однородна, то разумно предположить, что вероятность близка к 1/в. В противном случае эту вероятность можно приближенно определить лишь с помощью большого числа бросаний кости, установив, сколь часто при этом выпадают 6 очков.
Пример 2. Производится стрельба по мишени. Идеализируя действительность, предположим, что пробоина в мишени является точкой и что мишень всегда поражается. Событием является попадание в какую-нибудь ограниченную часть мишени. Каждой частичной области мишени соответствует, таким образом, событие, в частности, всей мишени — событие Е. Вероятность любого такого события тем больше, чем больше площадь соответствующей области, а также чем ближе к середине лежит эта область: целятся ведь в середину мишени. Попадание в отдельную точку также является событием, но вероятность этого события равна нулю, так как точка не имеет площади. Если события А и В соответствуют определенным областям мишени, то сумма А + В соответствует объединению обеих областей, а произведение АВ — их пересечению.
