Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
сохраняться за пределами однопетлевого приближения, и, следуя
приведенному выше доказательству, можно найти, что (3-функция обращается
в нуль во всех порядках выше однопетлевого.
Существует вариант доказательства конечности теории, основанный на
аномалиях, который не опирается непосредственно на сохранение кирального
тока [124], а использует теорему Адлера - Бардина о киральном токе. Это
доказательство [125] применялось также для того, чтобы убедиться в
конечности теорий с N = 2 за пределами однопетлевого приближения.
18.2. Доказательство, основанное на отсутствии перенормировки
Теперь мы можем представить доказательство конечности, основанное на
отсутствии перенормировки. Сначала приведем расширенную формулировку
теоремы об отсутствии перенормировки.
Теорема [112]. Эффективное действие Г для любой расширенной
суперсимметричной теории, представленной в суперпо-левом формализме без
связей, может быть записано в виде интеграла по расширенному
суперпространству:
Г = $ dV • (*Ь 0l), •••
•••. ф{хп- 0"), Оф(хи 0,), ...)&(*!> •••- *"). (18.8)
где ф - общее суперполе.
Доказательство. Если теория допускает суперполевое описание без связей,
то мы можем выбрать пропагаторы в виде 612,
а вершинам необходимо сопоставить интегрирования ^ d4NQ.
На линиях, выходящих из вершин, должны быть также различные множители D.
Теперь можно следовать в точности тем же аргументам, которые
использовались для доказательства теоремы об отсутствии перенормировки
при N - 1: устраняем производные D, действующие на 6-функции с помощью
интегрирования по частям, и стягиваем 0-пространственные петли до тех
пор, пока не останется только один интеграл по 0.
Известно, что контрчлены локальны, следовательно, их вклад в действие Г
имеет вид
Г = J d4xd4NQf (ф, Эф, ...). (18.9)
Конечно, эффективное действие в отсутствие каких-либо аномалий должно
также удовлетворять тождествам Уорда, соот-
СВОЙСТВА УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫХ РАСХОДИМОСТЕЙ
217
ветствующим имеющимся в теории симметриям. Простейший способ описания,
который бы не нарушил эти симметрии,- формализм фонового поля. Для
расширенных теорий формализм вполне аналогичен тому методу, который
использовался для теории Янга - Миллса с М= 1, за исключением процедуры
фиксации калибровки и введения соответствующих духов. Это последнее
замечание, которое обсуждается ниже, ведет к исключению однопетлевого
приближения в следующей теореме.
Теорема [112]. Рассмотрим любую суперсимметричную теорию в суперполевой
формулировке без связей. Используя формализм фонового поля, можно
выразить квантовые вклады в эффективное действие выше однопетлевого в
виде интеграла по всему суперпространству от калибровочно-инвариантной
функции фоновых потенциалов и полей материи.
Следовательно, контрчлены должны иметь вид
Г = J d4xdw0/ (А%, Xе, DcmAcn, DcXc), (18.10)
где f - калибровочно-инвариантная функция фонового калибровочного
потенциала ANC и полей материи Xе. Ниже мы вернемся к обсуждению
однопетлевого вклада.
План доказательства, основанного на отсутствии перенормировки [112],
состоит просто в том, чтобы выяснить, допускает ли анализ размерностей
существование контрчленов вида (18.10). Если нет размерных констант
взаимодействия, это маловероятно, поскольку размерность меры -4 + 2N.
Было показано [П2]" что теория Янга - Миллса с N = 2 конечна во всех
порядках теории возмущений выше однопетлевого; теория Янга - Миллса с N =
4 должна быть конечна, если существует суперполевой формализм для N = 4.
В работе [113] доказана конечность теорий Янга - Миллса с # = 4, что
является результатом применения расширенного до N = 2 суперполевого
формализма, который обсуждался в гл. 15. Конечность (М = 2)-теорий с
глобальной суперсимметрией в порядках выше однопетлевого и критерий
конечности в однопетлевом приближении были установлены в работе [117].
Теперь мы используем доводы об отсутствии перенормировки для (М = 2)-
теорий с глобальной суперсимметрией. Как говорилось в гл. 15, теория Янга
- Миллса с N = 2 представлена калибровочными потенциалами AN, которые
имеют ту же размерность, что и Пдг, а именно 1, если N - ш, и 1/2 в
остальных случаях. Материя с N==2 представлена полями L, Z+, Li!kly
которые имеют одинаковую размерность 1. Применяя приведенную теорему, мы
найдем, что в приближениях более высоких, чем однопетлевое, локальные
контрчлены в формализме фоно-
218
ГЛАВА 18
вого поля имеют вид
Г = \d8ed4xf {An, DBiAN, L, L11, Llikl, ...) =
= J d*Bd*x (ABiDAi . . . DckADl + LDM . . . DckL + . . .)¦ (18-11)
Однако по соображениям размерности все эти слагаемые недопустимы, и мы
должны заключить, что (N = 2) -теории с глобальной суперсимметрией
конечны во всех порядках теории возмущений выше однопетлевого и имеют там
соответственно нулевую р-функцию.
При интерпретации этого утверждения необходима осторожность в тех
случаях, когда теории имеют однопетлевые расходимости, т. е. ненулевую
однопетлевую p-функцию. При этом в высших членах разложения по петлям
