Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение для бЛр, в котором два неизвестных бЛрс и бЛ^р, эта задача не
решается единственным образом. Тем не менее одна из возможных систем
преобразований имеет вид
бЛ/ = |ЛрЛ+[ЛрС, Aj^VA, бЛ/ = [Лр9, Л]. (17.123)
Мы будем называть этот вариант фоновым калибровочным преобразованием.
Вычислим теперь квантовые поправки, пользуясь действием Л + Лр"7], но
квантуя только поле ЛрТ Для этого мы выберем такую калибровку, чтобы
воспроизвести соотношение (17.122), но так, чтобы для члена, фиксирующего
калибровку, сохранилось фоновое калибровочное преобразование (17.123).
Примером такого члена, фиксирующего калибровку, может служить выражение
F = Др^Лр9 = дуЛw + g [ЛрС, А**]. (17.124)
В этом случае необходимо добавить соответствующие духи Фад-деева - Попова
S(r)n [201*]. Заметим, что духи включают поле Лрс, поскольку его содержит
слагаемое, фиксирующее калибровку. Все это равносильно вычислению
амплитуды перехода вакуум - вакуум в присутствии фонового поля Лрс и
источника jр поля Aaq:
z [V> fJ = J V] exPг' (л i S+ p • v) •
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА ДЛЯ СУПЕРГРАФОВ С N - 1
205
где
/I*. A^=\d*xj"(x)A^(x). (17.125)
Хотя приведенная процедура несколько более сложна, чем прямое вычисление,
она имеет одно огромное преимущество. Именно: любой граф, содержащий
только классические поля А^0 во внешних линиях, будет явно инвариантным
относительно калибровочных преобразований фонового поля. Это утверждение
находится в противоречии с обычной ситуацией, когда слагаемое,
фиксирующее калибровку, нарушает калибровочную инвариантность, и поэтому
приходится использовать инвариантность относительно совокупности
преобразований Бекки - Руэ - Сто-ра - Тютина (БРСТ), которые не
определяются явным образом. В этом случае отдельные графы, вообще говоря,
не калибровочно-инвариантны. Конечно, в методе фонового поля
калибровочная инвариантность нарушается квантовыми поправками, но все эти
эффекты скрыты в графах.
Из функционала Z можно получить производящий функционал Г одночастично-
неприводимых графов
(17.126)
(17.127)
(17.128)
Одночастично-неприводимые графы, все внешние линии которых являются
только линиями фонового поля, можно получить из функционала Г [Л,/], и
они должны быть явно калибровочноинвариантными. Приведенное выше
эффективное действие связано с обычным эффективным действием в том
отношении, что оба они приводят к одинаковым предсказаниям для
калибровочно-инвариантных величин, и они равны, если в обычной
формулировке калибровку выбрать специальным образом [106].
Применим теперь метод фонового поля для вычисления расходимостей в
теориях Янга - Миллса. Теории должны быть локальными, и единственно
возможный их вид
$-iZTr{/V}2"!4 (17.129)
где
ал (17.130)
Эти формулы следуют из того, что напряженность Fц/- единственно возможная
величина, ковариантная относительно кали-
г [ V. 4*1 = ^ - Р ¦ А*
где
Z = expiW
и
А
* Й/u '
206 ГЛАВА 17
бровочных преобразований фонового поля. Поэтому, если мы имеем условия
перенормировки
4*o = Z]?A", go = Zgg, (17.131)
то для получения согласия с контрчленом (17.129) необходимо, чтобы
параметры удовлетворяли соотношению
ZfZe= 1. (17.132)
М-
При вычислениях, не использующих метод фонового поля, параметры Zaх и Zg,
вообще говоря, не связаны соотношением (17.132); тем не менее характер
расходимостей определяется тождествами Уорда.
17.8. Формализм фонового поля в суперпространстве [107]
В отличие от теории Янга - Миллса в обычном пространстве в
суперпространстве не желательно производить линейное разделение
препотенциала Янга - Миллса. Дело в том, что калибровочное преобразование
поля V существенно нелинейно относительно V, и, таким образом, разделение
не должно приводить к простым трансформационным свойствам
квантовой и
классической частей. Более полное разделение можно построить, имитируя
решение связей. Мы разделяем общее суперполе Vt на фоновые суперполя Q и
Q и квантовое поле V следующим образом:
Л = еУе'". (17.133)
Трансформационные свойства этих полей относительно квантовых
преобразований симметрии имеют следующий вид:
gK'^gAgKg-A ег = еа = ей, (17.134)
а свойства относительно фоновых (классических) преобразова-
ний симметрии имеют вид
V' =--eKVe~K, eQ'= eAoeQe~K, ё9' - еке~9-е~Ао. (17.135)
В этих преобразованиях Ло - киральное суперполе,
DaA0=-- 0. (17.136)
Параметр Л - фоновое ковариантное киральное поле,
0дЛ = О, (17.137)
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА ДЛЯ СУПЕРГРАФОВ С N = 1 207
где ковариантные производные фоновых полей определены соотношениями
(r)A = e-9-DAe9-, 2t)k=e9Dke9-. (17.138)
Мы замечаем, что как квантовые, так и классические преобразования
воспроизводят правильные преобразования общего суперполя Vt. В квантовом
случае находим
ет = ехр (е9-Ае-9-) ехр (1/г) ехр (- e~QAeQ) =
= ехрЛоехр VT ехр (-Л0), (17.139)
где Л0 = ёйАе9. В классическом случае получаем
6vt _ (еА'еае~к) (eKeve~K) (eKe~Qe~Ao) = еА°еУте~А\ (17.140)
Особенно полезно рассмотреть ковариантные производные в киральном
