Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
класса теорий расширенной глобальной суперсимметрии. Сначала внимание
исследователей было полностью обращено к максимально расширенной
суперсимметричной теории Янга - Миллса с N = 4. Было показано, что 13-
функция в этой теории равна нулю в одно- [108], двух- [109] и
трехпетлевом приближениях [110]. Вскоре после появления трехпетлевых
вычислений стали высказываться соображения в пользу конечности во всех
порядках теории возмущений [111] '). Эти соображения основывались на
структуре аномалий суперсимметричных теорий. Позднее были найдены еще два
аргумента в пользу конечности теории Янга - Миллса с N = 4. Один из них
опирается на обобщение теоремы об отсутствии перенормировок для N= 1 на
теории с расширенной суперсимметрией [112,113], а другой основан на
использовании (М = 4)-теории Янга - Миллса в калибровке на световом
конусе [114, 115).
При применении результатов работы [116] было замечено2), что |3-функция
теории Янга - Миллса с N - 2 равна нулю вплоть до двухпетлевого
приближения. Затем на основе соображений о "неперенормируемости" было
показано, что теория Янга - Миллса с N = 2 конечна за пределами
однопетлевого приближения [112]. Пересмотр доводов, основанных на
аномалиях, привел также к пониманию конечности за пределами однопетлевого
приближения любой (М = 2)-теории с глобальной
') S. Ferrara, В. Zumino, неопубликованная работа.
2) D. Freedman, частное сообщение.
212
ГЛАВА 18
суперсимметрией [117]. Современное изложение аргументов, основанных на
аномалиях, в форме, применимой к теориям с N = 2, можно найти в работе
[118]1); результаты, связанные с отсутствием перенормировок [112,113] в
теориях с N = 2, также содержатся в работе [118]. В последующем
обсуждении мы рассмотрим только доводы, основанные на аномалиях и
отсутствии перенормировок.
Эти результаты были подтверждены прямым вычислением с использованием (N =
1)-суперполевого формализма. Было обнаружено, что двухпетлевая |3-функция
любой (N = 2) -теории с глобальной суперсимметрией равна нулю [119].
18.1. Доказательство, основанное на аномалиях [111]
Стратегия доказательства опирается на тот факт, что в любой
суперсимметричной теории тензор энергии-импульса 0^, некоторые внутренние
токи /Д/ и суперток /ца< принадлежат одному супермультиплету.
Следовательно, любые суперконформ-ные аномалии этих токов также должны
принадлежать супермультиплету. Этот последний супермультиплет аномалий
может включать 0ф\ (y^jni)а и д^/V/, причем индексы г, / соответствуют
нарушению масштабной инвариантности, определенной суперсимметрии и
некоторым из внутренних токов соответственно. Понятно, что, когда
некоторые из внутренних симметрий не нарушены (т. е. = 0 для некоторых
г, /), мультиплет,
содержащий аномалии, если он неприводим, должен быть равен нулю и,
следовательно, 0^ = 0. Но тензор 0Д1 пропорционален выражению (F^F^-f-
...), умноженному на ([-функцию; следовательно, ([-функция должна
обращаться в нуль. Из этого результата можно получить доказательство
конечности рассматриваемой теории, используя какой-либо специальный
формализм, например формализм фонового поля (см. ниже).
Чтобы проиллюстрировать ход доказательства, покажем сначала конечность
теории Янга - Миллса с А7 = 4, используя упрощенный вариант аргументации,
основанной на аномалиях. Для этого необходимо сделать следующее
предположение.
Квантовые поправки к (М = 4)-теории Янга - Миллса сохраняют
суперсимметрию с N = 1 и внутреннюю 5П(4)-сим-метрию.
Установим сохранение всех киральных токов теории. Максимальная симметрия
есть U(4) = St/(4)X Н(1). Для общего N
') Работа [118] содержит обзор свойств конечности суперсимметричных
теорий и, в частности, аргументацию, основанную на аномалиях,
применительно к теориям с N = 2. Это последнее исследование выполнено
автором совместно с P. Howe.
СВОЙСТВА УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫХ РАСХОДИМОСТЕЙ
213
генератор В группы U( 1) имеет с генераторами QH следующие коммутационные
соотношения:
[Qa1, В]= *(jV4~-Ол7'. (18.1)
В случае N = 4 генераторы В и Qa' коммутируют, и, следовательно,
генератор В, который является оператором киральных вращений, на все
состояния мультиплета действует одинаково. Однако набор полей Янга -
Миллса с N = 4 есть СРТ-самосопряженный мультиплет; поэтому оператор В
должен одинаково действовать на состояния со спиральностями +1/2 и -1/2,
что возможно только в том случае, если действие В приводит к нулевому
результату. Следовательно, рассматриваемая модель имеет лишь SU(4) -
симметрию, представление которой разбивается по представлениям 0(4)
следующим образом:
15 SO (4) = (6+ 9) О (4), (18.2)
где представление 9 группы 0(4) связано с киральными токами, тогда как
представление 6 - с остальными токами, не содержащими ys-матрицы.
Следовательно, если SO(4)-симметрия не нарушена, то сохраняется 9
киральных токов, т. е. все киральные токи сохраняются.
В формулировке, основанной на группе 0(4), имеются представления 4 для
майорановских спиноров %а;, 9 - для киральных токов, включающих член
