Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
S1 - 02| ^ d*x d4QSi<j>3 + эрмит. сопр. = ^ d*x% (Л3 -ЗЛВ2) 0
М = 0202т ^ d4x d4QM3)A<t>3)АФ + эрмит. сопр. = -1
= ^ d4xm%A%A + эрмит. сопр.
N = 02т) ^ d4x d2&NWAWА + эрмит. сопр. == 0
= J й4хг\ХЛХл + эрмит. сопр.
?=0202е ^ d4x d4QE {egVФе~^ф2) + эрмит. сопр. = -1
= ^ d4xeA (Л2 + В2)
Для детального пояснения вернемся к случаю добавки вида А2- В2.
Индуцированная расходимость имеет следующий вид:
J d4xd4QS (D2S)r f (ф, V, Df, ...). (18.24)
Так как размерность суперполя S равна 1, единственно возможная
расходимость имеет вид
J d4xd4QS$. (18.25)
Но это слагаемое калибровочно-инвариантно только в том случае, когда ф
является калибровочным синглетом. Следовательно, поскольку калибровочные
синглеты отсутствуют, вставка А2-В2 не приводит к новым типам
расходимостей. Воспользовавшись аргументацией Вайнберга [156], основанной
на доказательстве по индукции, предположим, что для п петель отсутствуют
индуцированные расходимости; тогда индуцированные расходимости в п + 1
петле возникают либо как примитивная расходимость всей диаграммы, либо
как расходимость поддиаграмм. Последние отсутствуют по предположению, в
то время как первый тип расходимостей отсутствует, так как нет зависящих
от S расходимостей. Поэтому приходим к следующему результату.
226
ГЛАВА 18
Теорема. В любой суперсимметричной теории с N = 1 член А2 - В2 не
приводит к добавочным расходимостям, если в теории нет калибровочных
синглетов.
М
im. д.
Рассмотрим теперь добавку А2 + В2. Результирующая индуцированная
расходимость может иметь только вид
J tfxtfQUff + ( J d4xdiQUф2 -+- зрмит. сопр.) (18.26)
Составляющие ее расходимости имеют вид А2 -f- В2 и А2 - В2, но последняя
разность часто запрещена соображениями симметрии.
Вставка %% может приводить в общей теории к расходимостям вида
5 d4.rd4e [U (фф2) + ифОЦ + и (Ф3) + и (D2D2U) фф +
-+- U (D2D2U) ф2 -+- зрмит. сопр.] (18.27)
и возможным линейным слагаемым.
Читатель может ознакомиться с расходимостями, производимыми другими
добавками, по работе [135].
Вернемся теперь к нашей задаче и выясним, какие из мягких слагаемых
сохраняют конечность (N = 2)-теорий с глобальной суперсимметрией. При
описании с помощью (N - 1)-супер-полевого формализма теорию Янга - Миллса
с N = 2 составляют поле Янга - Миллса с N = 1, V и один мультиплет Весса-
Зумино ф в присоединенном представлении. В то же время (М = 2)-материя
состоит из а-киральных мультиплетов Ха" в представлении Ra и Yaa в
представлении Ra• Индекс а параметризует элементы пространства
представления Ra. Действие (N = 2) -теории с глобальной суперсимметрией,
записанное в этих (N = 1)-суперполях, имеет вид
А = Тг J d*xd2Q + J М9 [Р (egv)/ ft + Хаа {е^°)ьа Х0Ь+
+ Yaa (esv°)ab Yba] + g ij й4хйЩ5 (Да5)аьХь0^аа + зрмит. сопр. +
/
+ слагаемые, фиксирующие калибровку, + духи. (18.28)
СВОЙСТВА УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫХ РАСХОДИМОСТЕЙ 227
В этом выражении (V0) аь = Vs {Rs°) аь и (Rs°)ab- генераторы
группы G в представлении Ra. Для присоединенного представ-
ления, например, генераторы Ts имеют вид
{Ts)ik = ~fsik, (18.29)
где fsik - структурные константы группы G. Напомним, что эти теории
конечны тогда и только тогда, когда С2 (G) = Z"T(R°).
4- -------------------------- -I--------------Ь
+ -I ) +
а
Рис. 18.3.
Из нашего предыдущего рассуждения ясно, что добавление слагаемого вида А2
- В2 сохраняет конечность. Рассмотрим добавление члена А2 + В2, который
образуется за счет слагаемых
J d4xd49 [U,fs (e^)sk фк + U2aXaa (e*va)abX.bc + U,aYaa (e ~^a)abYbal
(18.30)
где шпурионные суперполя имеют вид
и1а = ргое202, / = 2 , 3. (18.31)
Индуцированная расходимость может иметь только следующий общий вид:
J d4xd49U (фф + XX + YY), (18.32)
поскольку исключаются члены ф2, X2 или Y2, не инвариантные
относительно преобразований симметрии
ф -> е21аф, X -* e-iaX, Y e~iaY. (18.33)
Действие с N = 2 и шпурионная вставка (18.30) инвариантны
относительно преобразований (18.33).
Рассмотрим теперь эти индуцированные расходимости на однопетлевом уровне.
Соответствующие диаграммы приведены на рис. 18.3. Такие графы проще всего
вычислить, пользуясь следующими рассуждениями. Рассмотрим любой
пропагатор, содержащий вставку U и являющийся частью большего графа (рис.
18.4). Используя правила Фейнмана для суперграфов,
228
ГЛАВА 18
можно вычислить эту часть графа и найти, что она дает вклад 5 d% (- Id?)
(- ± Dl) и (2) (- 1 ЪЦ (18.34)
в полное выражение для графа. Интегрируя по частям и пользуясь тем, что
никакое бесконечное выражение не может со-
2
1 h з
I
I и
Рис. 18.4.
держать операторы D, действующие слева на /7, найдем бесконечную часть
графа, которая содержит интегрирование
5 d% % и (2) ?=.-( d\(,au (2) (-1 т) % =
= -(Ч1)(-|й)-|и-. (18.35)
Иными словами, граф с /7-вставкой равен полю (- /7), умноженному на граф
без /7-вставки.
Аналогично найдем, что /7-вставка в вершину <j>(gV)n<f> дает граф,
который равен полю (+/7), умноженному на граф без fZ-вставки.
Для внешних линий XX однопетлевые графы приведены на рис. 18.5. Используя
