Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
характерна для низкоэнергетической физики, весьма интересен, поскольку
группа V(1) является типичным остатком нарушения некоторых более высоких
групп симметрий. Выясним теперь, какие из теорий с N = 2, имеющих
приведенные выше калибровочные группы симметричны, конечны [128]. Для Ei
= SU(5) имеем: р + 3q + 7г = 10, где р, q и г - числа гипермультипле-
') Речь идет о классических сериях простых алгебр Ли An~sl(n-\- 1), Вп ~
so(2rc+ 1), Сп ~ sp(2n), Dn ~ so(2n) и исключительной серии Е$, Е7, Е6,
F4, G2. - Прим. ред.
СВОЙСТВА УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫХ РАСХОДИМОСТЕЙ
221
тов в представлениях! 5 + 5, 10+10 и 15 + 15 соответственно. Для группы
SO (10) имеется р и q гипермультиплетов в представлениях 10 + 10 и 16 +
16 соответственно, причем р + 2q=8. Группа приводит к конечной теории,
если использовать четыре гипермультиплета в представлении 27 + 27, а для
группы +7 требуются три гипермультиплета в представлении 56+56. Для
группы +8 представление низшей размерности - присоединенное, в котором
разрешены только три киральных поля. Заметим, что для групп SO (10), Ев,
Е7 и Ев соответствующие конечные теории содержат наблюдаемые фермионы. В
действительности они содержат три или более поколений частиц, а также их
зеркальные партнеры. Конечно, не ясно, каким образом много поколений
частиц могут оставаться безмассовыми, когда калибровочные симметрии
спонтанно нарушены. Недавно было указано, что имеются другие возможные
конечные теории, в которых поля материи с N = 2 образуют СРГ-
самосопряженный мультиплет [145].
В работе [129] показано, что массовый член с N = 2 не .вносит
расходимостей.
На данном этапе следует обсудить силу и слабости приведенных выше
аргументов. Доказательство, основанное на аномалиях в его наиболее
строгой форме, опирается на использование метода регуляризации с помощью
старших производных. Но применение этого метода к теориям с (N = 2) -
суперпространством не разработано во всех деталях. Имеется вариант
доказательства, основанный на аномалиях, использующий теорему Адлера -
Бардина [125]. Этот вариант применялся для установления конечности класса
суперсимметричных теорий с N=1 вплоть до двухпетлевого приближения [100,
101] !). В этом смысле аргументация, основанная на аномалиях, в сравнении
с другими доводами имеет более широкую применимость.
Доказательства, основанные на отсутствии перенормировок, а в более
детальной форме - на аномалиях, опираются на правила Фейнмана для
суперграфов с N = 2. Детальное описание этих правил не было дано, но
ясно, что они должны привести к сильным инфракрасным расходимостям вне
массовой поверхности, т. е. расходимостям вида ^ й'Чг/Е1. Для того чтобы
придать
смысл этому формализму, такие расходимости должны быть сначала
регуляризованы, а затем устранены. В процессе вычислений можно потерять
некоторые из симметрий теории. Например, добавление массовых членов
нарушает калибровочную инвариантность, в то время как для системы,
помещенной в пе-
*) См. примечание на с. 203. - Прим. ред.
222
ГЛАВА 18
риодический "ящик"1), нарушается лоренцева инвариантность. Не ясно, что
инфракрасные расходимости не приведут к отклонению от теоремы об
отсутствии перенормировки [130].
Другая проблема связана с тем, что, если поля материи с N = 2 принадлежат
комплексному представлению, их необходимо удвоить для того, чтобы
удовлетворить суперпростран-ственной формулировке с ослабленным
гипермультиплетом [117]. Однако прямым вычислением было установлено
[119], что теории конечны в двухпетлевом приближении даже при нечетном
числе комплексных представлений. Наконец, отсутствует детальное изучение
того, как регуляризация однопетлевых расходимостей вне суперсимметричных
схем может испортить диаграммы высших порядков, содержащие такие
расходимости. Эти последние возражения относятся к аргументациям,
основанным на аномалиях и на теореме об отсутствии перенормировки.
Недостаточно обсуждались трудности, возникающие при описании в формализме
светового конуса. Далеко не ясно, как восстановить лоренцеву
инвариантность. Вероятно, следует убедиться, что справедливы нелинейные
тождества Уорда, соответствующие лоренцевой инвариантности. Но это может
потребовать добавления в теорию конечных локальных контрчленов. Подобную
аргументацию необходимо еще распространить на теории с N = 2.
Мы подчеркнули отдельные не разработанные вопросы не потому, что доводы в
пользу конечности теории вызывают сомнения, а чтобы показать, что
утверждения не являются доказательством в математическом смысле и что
есть простор для дальнейшей работы.
Возможно, аргументация, основанная на отсутствии перенормировки и
аномалиях, будет применена к двумерным расширенным a-моделям, которые
также обладают замечательными свойствами конечности [131]. Но, с другой
стороны, упомянутая аргументация использует размерный анализ, и легко
видеть, что для теорий супергравитации, содержащих размерные константы
взаимодействия, она может отказать. Обзор свойств расходимостей в теориях
