Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
а 6 - для токов, содер-
жащих член %['уч+].
Рассмотрим теперь (М = 4)-теорию Янга - Миллса, разложенную по
представлениям с N= 1. R-ток /+5) будет одним из 9 киральных токов и
будет сохраняющейся величиной, т. е. <++(5) = 0.
Теперь необходимо рассмотреть уравнение для аномалии. Оно содержит правую
часть, куда входят напряженность W поля Янга - Миллса с N - 1 и киральные
поля материи ф'. Из соображений размерности уравнение должно иметь вид
(см. гл. 20)
Г)А JА-А = -- у ^ ^ DaW2 + члены, зависящие от ф1. (18.3)
Однако, как уже говорилось, первое слагаемое соответствует киральной
аномалии и поэтому содержит 0+ и д +ф(5). Так как 3^/ч(5) = 0, мы должны
сделать вывод, что P(g) = 0.
Аналогичное, но несколько более строгое доказательство [111] может быть
проведено исходя из предположения, что в (М = 4)-квантовой теории Янга -
Миллса сохраняются супер-
214
ГЛАВА 18
симметрия с N = 1 и симметрия 0(4). В этом случае следует рассматривать
мультиплеты аномалий с N = 2.
Применим теперь доводы, основанные на аномалиях [118], к (N = 2) -теориям
с глобальной суперсимметрией и докажем следующую теорему.
Теорема [117]. |3-функция (N = 2) -теорий с глобальной суперсимметрией
равна нулю во всех порядках выше однопет-левого.
Доказательство. Сначала установим, что в квантовой теории сохраняются (N
= 2)-суперсимметрия и внутренняя симметрия 0(2). В классической теории (N
= 2) -суперсимметрия выражается явно при использовании данной выше
формулировки (N = 2) -супермультиплета материи. Но чтобы непосредственно
проквантовать теорию, рассмотрим формулировки, не использующие связей в
х-пространстве. Иными словами, мы можем рассмотреть формулировку,
использующую ослабленный гипер-мультиплет, состоящий из суперполей L,
L'i, Liikl, или мы можем использовать новый ослабленный вариант
гипермультипле-та Сониуса, о котором говорится в гл. 15.
Теперь нам потребуется метод регуляризации, сохраняющий эти симметрии;
самый надежный - метод старших производных [120]. Это значит, что мы
рассматриваем действие, которое содержит компонентные поля вида
^ г 2 1 1 cKV (.дЗЛ г г* I
- -j Fnv - -j -д2г F +
-{-слагаемые, необходимые для сохранения суперсимметрии.
(18.4)
В этом выражении г-целое число, которое обычно равно 1 или 2. Этот метод,
очевидно, не нарушает суперсимметрию с iV = 2 и симметрию U{2), а также
позволяет регуляризовать все графы, за исключением примитивно-
расходящихся однопетлевых диаграмм. В общем случае введение старших
производных в теорию изменяет структуру расходимостей на однопетлевом
уровне, т. е. "(3-функция" до предельного перехода, обращающего в нуль
старшие производные, существенно отличается от первоначальной. Но для
теорий с N = 2, выраженных в приведенном формализме, дополнительные
массивные состояния, введенные старшими производными, должны принадлежать
к супермультиплетам с N = 2, содержащим один спин 1, четыре спина 1/2 и
пять нулевых спинов. Это следует из того, что мультиплет, рассмотренный
выше, является единственно приемлемым массивным мультиплетом, не имеющим
центрального
СВОЙСТВА УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫХ РАСХОДИМОСТЕЙ
215
заряда и включающим спины, не превосходящие 1. Следовательно, если "p-
функция" на однопетлевом уровне для теории со старшими производными
дается формулой [121, 122]
(-1ГСХ(1 - 12А2), (18.5)
а
где суммирование производится по всем состояниям с различными
спиральностями, то p-функция такая же, как в теории без. старших
производных. В работе [123] доказано, что эта формула в самом деле верна.
Следовательно, если теория конечна в однопетлевом приближении, то после
регуляризации с помощью старших производных она может быть сделана
конечной и во всех порядках теории возмущений.
Такая конечная в однопетлевом приближении теория с N-2 может сохранять (N
= 2) -суперсимметрию и симметрию U{2) в полной квантовой теории.
Остается лишь установить, что мультиплет токов в супер-симметричных
теориях с N = 2 имеет требуемую форму. Суперток J теории с N = 2 имеет
размерность 2; уравнение аномалии для него имеет вид
DllJ= аномалии, (18.6)
где D'i = DA(-iDA!'>. Правая часть этого уравнения должна иметь
размерность 3 и должна быть построена из калибровочно-инвариантных
суперполей W теории Янга - Миллса с N = 2" (N = 2) -суперполей материи и
ковариантных производных этих полей. Обратим внимание на слагаемое,
содержащее поля Янга- Миллса W с N = 2. Уравнение может иметь
единственный вид:
DllJ ==-1 j DllW2 4- слагаемые, содержащие поля материи,.
d g
(18.7)
где P(g)-p-функция, зависящая от константы калибровочного взаимодействия
g. Первое слагаемое включает в себя аномалы ные члены, содержащие вклады
в 0[i, а также в дивергенцию одного из киральных U(2) -токов. Но эти
киральные токи сохраняются, следовательно, P(g) = 0.
С другой стороны, если теория имеет расходимости на однопетлевом уровне,
то они должны быть регуляризованы отдельно. При этом естественно ожидать,
что Н(2)-токи будут
216
ГЛАВА 18
