Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
вида тф2 или Кф3 нет необходимости.
Теперь мы получим тот же результат иным путем, доказав следующую теорему.
Теорема об отсутствии перенормировки (теорема о "непере-нормировке")
[90]. Любой вычисляемый по теории возмущений квантовый вклад в
эффективное действие можно выразить в виде интеграла по всему (N = 1)-
суперпространству. Иными словами, вклад должен иметь вид
Заметим, что такой функционал включает лишь одно интегрирование по
переменной 0 функций, локально от нее зависящих.
Доказательство. Эта теорема непосредственно следует из приведенных выше
фейнмановских правил для суперграфов. Рассмотрим зависимость от 0 любого
суперграфа. В подынтегральном выражении имеем: от пропагаторов - функции
8ц, от
вершин - интегрирование множители D и (или) множи-
тели D, действующие на функции б,/. Сосредоточим внимание на определенном
пропагаторе, связывающем вершины ix и ;2. Интегрируя по частям, мы можем
перенести действие операторов D или D с множителей бг,г2 на другие
внутренние пропа-гаторы или на внешние поля (или источники, если мы
вычисляем W[J, j]).
После выполнения этих интегрирований остается свободный множитель бi,u и
можно проинтегрировать по переменной 0 в вершине i\. Это приводит к
замене i\ на г2 во всех других точках суперграфа, что эквивалентно в 0-
пространстве простому стягиванию петли в точку.
Эту процедуру вычислений можно использовать для всех пропагаторов,
принадлежащих петле, кроме одного, н упростить выражение в 0-пространстве
для данной петли:
Это означает, что петля выглядит просто и содержит только две вершины.
Если это выражение или любое аналогичное, какие встречались выше,
содержит менее двух множителей D и двух множителей D, то в целом вклад
графа равен нулю. Если встречается более двух операторов D или В, мы
можем использовать коммутационные соотношения для D и D, чтобы преоб-
П
..., 0Аф(хи 0), DAV(xu 0), ...). (17.105)
J d%, J d%fi,ihDh ... Dh... б/,/.
(17.106)
200
ГЛАВА 17
разовать выражение, выделив два множителя D и два множителя D, а также
множители, зависящие от импульса. Для оставшихся двух множителей D и двух
множителей D можно использовать соотношение
6hhD2hDl6hh==milh, (17.107)
позволяющее упростить подынтегральное выражение, которое затем
проинтегрируем по rf40/" сохранив лишь интегрирование по d4Qj2.
Выполнив эти вычисления для всех петель, мы получим выражение, содержащее
импульсы, внешние поля, операторы D и Б, действующие на внешнее поле, и
одно окончательное интегрирование, соответствующее вершине; другими
словами, мы получим выражение вида (17.105), что и требовалось доказать.
Применяя эту теорему к общей (JV = 1)-суперсимметричной теории, найдем,
что массовый контрчлен и контрчлен'взаимодействия, имеющие вид ^ d4xd2Q
(m<j>2 + Xfz) + эрмит. сопр.,
в теории не содержатся, поскольку являются интегралами по
подпространству, а не интегралами по всему суперпространству.
Следовательно, независимые расходящиеся поправки к массе и взаимодействию
отсутствуют. Эти результаты содержатся в работах [85-87].
Другая теорема, имеющая важное значение для построения реалистических
моделей, является простым следствием теоремы об отсутствии
перенормировки; она гласит:
Теорема [89]. Эффективный потенциал равен нулю для тех суперсимметричных
полевых конфигураций, которые не нарушают суперсимметрию в классическом
приближении.
Доказательство. Полевая конфигурация, совместная с требованиями
суперсимметрии в классическом приближении, имеет нулевую энергию вакуума.
Поскольку классический потенциал есть сумма вспомогательных полей, он
должен обращаться в нуль.
Квантовые добавки в эффективный потенциал, который представляет собой
независящую от координат часть эффективного действия, должны иметь вид
\dwxvfm,(у),(А>,...).
Но для классических конфигураций, удовлетворяющих требованиям
суперсимметрии, <<?> и <К> не зависят от 0, поскольку спиноры, входящие в
эти величины, имеют нулевые вакуумные средние, и по предположению средние
значения вспомогательных полей равны нулю. Следовательно, приведенный
выше ин-
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА ДЛЯ СУПЕРГРАФОВ С N = 1
201
теграл, а также эффективный потенциал равны нулю, что и требовалось
доказать.
Этот результат означает, что если суперсимметрия не нарушена в
классическом приближении, то квантовый эффективный потенциал может
достичь того же абсолютного минимума, что и в классической
суперсимметричной теории. В частности, любые вырождения минимума
классического потенциала, т. е. вакуумные конфигурации, имеющие те же
абсолютные значения минимума потенциала, не устраняются квантовыми
поправками. Эти вырождения в действительности являются общей чертой
суперсимметричных теорий.
Этот результат также означает, что, если суперсимметрия не нарушена на
древесном уровне, она не будет нарушена за счет квантовых поправок. Это
простое следствие приведенного выше утверждения, а именно если квантовый
эффективный потенциал нарушает суперсимметрию, он должен иметь минимум,
