Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
1тп = - (xj>. - х"дт) - 4-е" (O-V + T0S ¦
(14.15)
Мы примем следующие правила дифференцирования по антикоммутирующим
переменным (см. приложение):
-±5-0в = блв, -^0в = бА (14.16)
ддА двА
Производная <3/<394 должна антикоммутировать с переменными 0; например,
д (0В0С) = 6ЛВ0С - Qb6ac. (14.17)
аел
Свойства оператора д/ддА при комплексном сопряжении приведены в
приложении.
Операторы (14.14), (14.15) удовлетворяют соотношениям алгебры
{1А,1в} = 0, {1а, lA} = 2i(om)AAlm,
1 (14.18)
Um> 1А] = \1а, Lmn] = + ~2 (атп)АВ ^В-
СУПЕРПРОСТРАНСТВО 109
Эти соотношения согласуются с требованием представления алгебры
инфинитезимальными операторами. При вычислении коммутатора двух
преобразований, действующих на суперполе ф(г), заметим, что нам
необходимо пронести вариацию 61 за 62; таким образом, вариация 62
выполняется первой. По определению преобразование суперсимметрии имеет
вид
6ф = (гА1А + еА1А) ф,
а действие двух таких преобразований можно записать, используя
соотношения (14.18), в следующем виде:
[бь 62] ф = 6, [{г2ЧА + е/1А) ф] - (1 - 2) =
= [е2А1а + е2Л'^л > *1% + е1 ] Ф -
= -г2АЪ\в {1А, /д} Ф - е2ле1в [lA , Ц ф =
= (-еа V2/ (Олв <Зт - (1 - 2)) ^ =
= -2re2%i(r) (сгт)лв дтф + эрмит. сопр. (14.19)
При другом варианте вычислений используем алгебру суперсимметрии
[*SQa "Ь е/Сд > е2BQb + 62(r)Qb J ^ = -e^e2B Qg} ф - (1 *^2) =
= +e2%i(r) (-2/(ат)Лд ) Ртф + эрмит. сопр. (14.20) Эти формулы совпадают,
так как для малых ат имеем
Ьатф = (у(еатр")-1)ф = ат1тф = атдтф. (14.21)
Мы можем рассмотреть более общее пространство представлений, чем
скалярные суперполя, приписывая суперполю индексы, соответствующие
представлению группы Лоренца, которому оно принадлежит. Для суперполя фр
получаем
(тп, ., ч
е- W*)^(x(gr)z)| (14.22)
где g определяется формулой (14.1), a Dpq- матрица, отвечающая
представлению, параметризованному индексом q. Поскольку генераторы (N =
1)-суперсимметрии сами образуют представление группы Лоренца, подгруппа
вращений в (14.22) не зависит от z. Спинорное суперполе преобразуется
следующим образом:
U (g) ФА (z) = [ехр (- 4- wmnomn)\AB фв (т (g) г). (14.23)
110
ГЛАВА 14
Действие инфинитезимальных генераторов на фр имеет тот же вид, что и
раньше, но оператор 1тп вследствие лоренцева вращения приобретает
дополнительное слагаемое; например,
1тпФс = {- W, - Хадт) - 4- 0В (атп)вА -?г +
+ 4-0Й (дтПЬА-^с}фС - т(Осв^в. (14.24)
Мы можем разложить суперполе ф (л:*1, 0Л, 0Л) в ряд Тейлора по степеням
0Л и 0Л; при этом коэффициенты разложения будут функциями х**:
ф (х", 0Л, 0Л) = С (*) + 0лХл (X) + 0лХд (х) + 4- 0Л0л/ (X) +
+ 4-Э^ k (х) + 0Л0МДЙ (х) + 4- 0Л0Д0% (х) +
+ ±Q\QBkB'(x) + 4"0л0д0^0дD (х). (14.25)
Ряд обрывается на слагаемом, пропорциональном (0Л)2(0В)2, так как 0Л0В0С
= 0.
Если суперполе скалярное, то можно найти суперпреобразования компонентных
полей. Вспоминая преобразование (14.12), получаем
6ф = 6С + 0АбХд + .. . = (ел<Эд + saQa ) Ф = (14.26)
- ф (х11 + г'ел (а^дд 0Л - *0Л (^дд еЛ, 0Л + еЛ> 6Л + еЛ) -
- ф(х>1, 0Л, 0Л) = елХд + елхд +/ел (а"*)Д/} 0л5цС-
- /0Л (о**)дД е^С + 0Л8Д/ + 0Л8Д k + ел0вЛдй +
+ дЧвАДВ + .... (14.27)
Сравнивая коэффициенты при 0, 02 и т. д., имеем б С = 8ЛХд + 8ЛХд ,
^Хд = + /8д + АДВ ев - i (<т^)дд е^д^С, бХд = +ksA - АДЁ вв - i ЮД/}
ел5(1С, бf = +елЯл - ieB {о")ВЁ 5"хв,
bk = +eBXB - ieB(a>1)B6dll%B, (14.28)
бАдв = 8дХд - ieB (<у1х)ДЁ 5"хв + ied (а^)д6 д^ -еА?,ё,
СУПЕРПРОСТРАНСТВО 111
ЬХА = -i (о")аА + Dea + I {о")св д^АА&гс,
ЬХА = -idj (о^)аА ел + DeA - i (а^)с6д}ХАскгс, bD = -ie* Ювв д^Х* - 1вА
(а%А д^с.
Полезно также найти правила преобразования скалярного супермультиплета в
4-компонентной форме. Используя приведенные в приложении обозначения и
переопределяя некоторые поля для большего согласия с употребляемыми в
литературе обозначениями, находим
ЬС = iey?, б? = (Я + iy5K - iy5dC + A) e,
ЬН = IX' + Щ, bK = isy5X' + iey5d?, (14 29)
6Л" = гу^Х' + ёд^, bX' = (-ст^д^Л* + iy5D') e,
bD' = iey^dX',
где
l = -iy5X, H = \{-f + k), ^ = §-(/ + &)>
! . ! (14.30)
аав=={ф)ава^ я' = -2/у5^ + Yd%> D' = 2D + Yd2C-
Ha заключительном этапе вычислений проверим замкнутость алгебры
преобразований, действующих на поля в х-простран-стве:
[б,, б2] С = -ie2A (а^)лЛ е^д^С - ie2A (а^)лЛ е^д^С - (1 2) ==
= -2ге2Л (а11)^ + эрмит. сопр., (14.31)
что находится в согласии с (14.19) и (14.20) при 0 = 0.
Конечно, мы могли бы воспользоваться активной интерпретацией действия
преобразований группы, но тогда потребовалась бы другая интерпретация
коммутации. В этом случае мы нашли бы, например,
ЬС= - (еа%а+еа%а),
и коммутатор преобразований должен быть вычислен без изменений порядка
вариаций 6i и 62- При таком подходе следует сначала преобразовать
мультиплет, т. е.
(С, %, - гА%А - гА%А, ...),
112
ГЛАВА 14
а затем, вычисляя коммутатор, подставить этот новый мультиплет в закон
преобразования, отвечающий вариации 61, т. е.
[б,, б2] С - { 8^ ( + 1 ' е2А fe2A ЛдВ 82^)
- 8,4 (+ i (5)дд в/ - kzzA + ЛвЛе2в)} - (1 2) =
