Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, параметры фактор-пространства таковы:
2л = (л9\ 0лг, 0лг, 2е).
Под действием элемента группы g точка фактор-пространства гп переходит в
точку с координатой г'п, причем
g/Ч = (14.114)
Сравнивая обе части равенства (14.114), найдем изменение координат при
преобразовании суперсимметрии
*'и = + ieAi Юлй 0В' - iQAj Юлй е^,
q'ai==qa, + ba" 0'л/= 0Л/+ ел', (14.115)
2,е = 2е + ie\0Л/ (Qe)l/ + 1 ((r)%>
в то время как действию лишь центрального заряда отвечает преобразование
ze->- z'e -f- we, а координаты л; и 0 остаются без изменений.
Скалярные суперполя в расширенном суперпространстве имеют вид
ф(г')^ф(г) = ф(х", QAit 0Л/, 2е), (14.116)
а действие группы суперсимметрии определено следующим образом:
и(д)ф(г) = ф(г'). (14.117)
Инфинитезимальные генераторы алгебры суперсимметрии определяются из
соотношений
б gNfNA дАф = б д"Хмф, (14.118)
где для элемента малой группы 6gN имеем
(14.119)
Инфинитезимальные операторы имеют вид
д | . I и\ пВ1 | .!г^е\Ч д <9
= 1а (^лв 0Й/ + г (^е) (r)л'
dv дг dw
1тп=-(хтдп-хпдт)-±в* (атп)в л-А+^й{отп)вЛ-
(14.120)
(90 л (96
<90л/ эел/
124
ГЛАВА 14
Коэффициенты разложения произвольного суперполя в ряд Тейлора по степеням
ze, 0Д, 0В;' зависят только от х^. Тем не менее имеется бесконечный набор
таких полей в х-пространстве, поскольку 2е - бозонные координаты и
разложение по ним в общем случае не обрывается на конечном числе членов.
Разложение по переменной 0 обрывается на слагаемом, содержащем (0Т)4
(0ЙО4- Разложение имеет вид
Для того чтобы избежать бесконечного ряда компонентных полей в х-
пространстве, будем проводить вычисления с помощью ковариантных
производных.
Супертетрада и спиновая связность определены соотношением
Прямые вычисления приводят к следующим результатам:
где
фМ (хК 0Д, 0ЙО ss ф (хК 0л" 0*', 0) = С<°> (хД + 0лд/" г + . ..,
(14.121)
(14.122)
п
(14.124)
(14.123)
СУПЕРПРОСТРАНСТВО 125
Обратная тетрада имеет следующие ненулевые компоненты:
ет" = а,л ек* - -г"(о,1)ав0вг> *a^/ = W.
> = _ i {а%. QAp еА{ в, = 6.B6j7 (14.125)
еА1- = - / (Qe)'; Эд г, евГ~ ~ 1 (й% Ч > е? = б/-
Следовательно, ковариантная производная дается выражением
DM = (Ем* (дя + 4 Оят"/т")) , (14.126)
что равно
^М = {^т' D/, D^J, Dg),
где
= СЛ'-^--''(А4еЙ0"-г(й')''вА^, (Н.127)
Da, = ^5Г - f 0В<^ - ' <й% V1§Г - = 75Г •
Ковариантные производные коммутируют с суперзарядами Qa и Qb{ и со всеми
генераторами группы суперсимметрии; они также удовлетворяют соотношениям
{D/, /у} = + 2i (QT еABDe, {DAi, Dbj} = +2i (Q%. e M De,
{D/, D6j} = -2i(o")/A6/dtl, [W] = [<V Пй/]=0=[у D2],
(14.128)
[Dz, любая производная] = 0.
Теперь мы можем применить ковариантные производные для наложения
ковариантных связей на общее суперполе. Потребуем выполнения связи
Огф = ~ф = 0. (14.129)
Это значит, что суперполе не зависит от ze и, таким образом,
не содержит бесконечного набора компонентных полей в х-про-странстве.
Связь низшей размерности, которую можно использовать, имеет вид
Dky = 0. (14.130)
Она приводит к соотношению
{°Ai> °В1}Ф = + ^А6 (Q%D.* = 0, (14.131)
126
ГЛАВА 14
или, другими словами, De<j> = 0. В этом случае
^ = 0 (14.132)
и, следовательно, ф не зависит от ze. Компоненты суперполя ф в х-
пространстве проще выделить с помощью ковариантных производных;
компоненты суперполей
ф, D/ф, DM*, DAlDB!Dck<t>, DMDjDo^, ... (14.133)
при 0 = 0 соответственно равны
2, %а , САВ', кАВС1,к, dABcDikl, ••• . (14.134)
Их трансформационные свойства можно получить при помощи соотношений
алгебры производных D. Приведенные выше тензоры обладают различными
свойствами симметрии. Например, Сав'1 = -СваК что следует из
перестановочных соотношений алгебры ковариантных производных.
В общем случае можно рассмотреть суперполя с лоренце-выми индексами и
индексами внутренней симметрии:
^/..,лв..,лв.., (14-135)
Их трансформационные свойства очевидны.
При построении фактор-пространства расширенного суперпространства можно
было бы добавить к группе изотропии центральные заряды. Но это приводит к
тем же результатам вследствие абелевости (коммутативности) этих
генераторов. Если же их включить в группу изотропии, то у суперполей
появятся дополнительные индексы, соответствующие центральным зарядам.
Эквивалентность этих двух формулировок устанавливается с помощью
преобразования Фурье, т. е.
г)=\фк{...)ешЧк. (14.136)
14.3. (ЛГ = 2]-суперпространство
В этом разделе рассмотрим некоторые примеры важных суперполей с N = 2. На
первый взгляд может показаться, что достаточно иметь два центральных
заряда:
{Qji Ze = + ie"Z<2>. (14.137)
Но один из них можно исключить с помощью кирального вращения. В этом
случае (Qe)il = -где матрица s'7 имеет те же свойства относительно
поднятия и опускания индексов, что и еАв. В результате имеется только
один центральный заряд, и
СУПЕРПРОСТРАНСТВО
127
мы находим
{(r)а> Db1} = 2sABsi!Dz. (14.138)
Такое преобразование невозможно в теориях, не обладающих киральной
симметрией, и в этом случае возможно существование двух центральных
