Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
суперполя, и соответствующее интегрирование включает только ^ d20.
Интеграл по всему пространству
^ dixdiQ от кирального суперполя обращается в нуль.
Первое слагаемое в действии - кинетический член, который может быть
выражен через компонентные поля следующим образом. Его можно получить,
полагая 0 = 0 в выражении
\^х(-\в2)(-±Ъ2)фф = \а'х(-\о2)(-\Щ)ф^
= 5 Л {(d2d*Ф) ф + 2 (DBD*Ф) овф + (52ф) Б2Ф} =
= 5 d*x {(+ д2ф) Ф -L(d)BB(Dbj.) DB<f> + ± Ф2ф) (бЩ . (15.4) Используя
(15.2), получаем результат
J d4x {- | д^г f - уХв (д)вЬ ХВ + т I / I2} ¦ (15.5)
Члены взаимодействия этой модели имеют наиболее общий вид, согласующийся
с ее перенормируемостью. Линейный член
ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРИИ С ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕЙ 133
цф можно устранить, сдвигая поле ф (ф^-ф + const). В терминах
компонентных полей члены взаимодействия имеют вид
J dAx (•?/ +m(-~%A%A + Yfz) +
+ a(+1/22-^Xa) + 3Pmht. сопр.). (15.6)
Хотя суперпространственный формализм вполне очевиден для модели Весса -
Зумино, для более сложных теорий он не столь прозрачен. Тем не менее
имеется очень простой метод, называемый методом "калибровочного
расширения", позволяющий легко перейти от формулировки в ^-пространстве к
супер-пространственной формулировке [48]. Проиллюстрируем метод на
примере модели Весса - Зумино. Поля (z,%A,f), входящие в состав этой
модели, имеют следующие законы преобразования в двухкомпонентных
обозначениях:
62 = е\, 6%А = feA - 2i(or% еh d^z,
б/= -21г°{о%ёдЛА. ( ^
Будем рассматривать z как первую компоненту комплексного суперполя ф (х,
0Л, 0д); другими словами,
ф(х, 0Л, 0д)|е_о = 2(дс). (15.8)
Супервариация поля z дается выражением
6z = (eAQA + e*QA) ф |0_о = (eADA + zADk) ф |0=о. (15.9)
Оказывается, что при 0 = 0 обращается в нуль член ((?)л? 0В,
содержащийся в QA и DA. Следовательно, при 0 = 0 операторы
D и Q эквивалентны. Очевидна тождественность их действия на низшую
компоненту любого суперполя. Поэтому
6г = (eADA + гАОк)ф |0=о = елхл. (15.10)
Таким образом, поскольку бz не содержит еА, имеем
БаФ |е-о = 0. (15.11)
Но любое суперполе с нулевой первой компонентой равно нулю, и,
следовательно, мы приходим к хорошо известному результату, что мультиплет
Весса - Зумино содержится в комплексном суперполе, удовлетворяющем
уравнению
Олф = 0. ' (15.12)
134
ГЛАВА 15
На него, конечно, могут быть наложены и другие связи, и для их
однозначного определения необходимо рассмотреть набор полей, составляющих
суперполе ф, удовлетворяющее уравнению Б^ф = 0. Набор образуют поля в A-
пространстве, которые являются (0 = 0) -компонентами суперполей
Ф, ВАф, ~^&ф, (15.13)
где D2 = DaDa. Ясно, что использование оператора приводит к полям,
которые являются пространственно-временными производными приведенных
выше.
Набор полей в (15.6)-не что иное, как мультиплет Весса- Зумино, поэтому
мы приходим к заключению, что других связей в суперпространстве нет.
Можно проверить, что поля (15.6) в самом деле имеют правильные
трансформационные свойства. Например, для вспомогательного поля f находим
в/ = - У (едЯд + А5,) №¦) |8,"=
= -у2eHflj, 0"}0^U=-2<eMol')aie"Zi'. 05.14)
15.2. Теория Янга - Миллса с N = 1 [10]
Компонентные поля в A-пространстве (Л^Да, D) суперсимметричной теории
Янга - Миллса с N= 1 являются полями с наибольшей размерностью,
содержащимися в суперполе V (лД 0") [53]. Присутствие других компонентных
полей в х-про-странстве вполне естественно, поскольку калибровочное
преобразование поля Аи (бЛ11 = д|Д + ...), обеспечивающее в физических
процессах отсутствие продольной части Л^, должно принадлежать
супермультиплету. Такой мультиплет - киральный супермультиплет А(1)дЛ =
0); его можно использовать для того, чтобы выбором калибровки обратить в
нуль все компоненты суперполя V с низшими размерностями, сохранив лишь
поля (ЛцД, D) и калибровочное преобразование Л
Для простоты рассмотрим сначала абелев случай; калибровочное
преобразование суперполя V имеет вид
6К = (Л - Л). (15.15)
Суперполе V действительно: V+ = V, но А+= -Л. Для построения действия
необходимы калибровочно-ковариантные выражения вида _
Wa = d2daV> Wa =tfDAV> (15л6)
ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРИИ С ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕИ 135
причем (№Д)+==^л" При калибровочном преобразовании имеем
6ГЛ = - D*DaA = -2Ю6 {д)АВ Л = 0. (15.17)
Очевидно, Wл - киральное поле, т. е.
DhWA = 0. (15.18)
Поскольку суперполе V действительно, получаем
DaWa-DaWa =(DaD2Da-DaD2Da)V = 0. (15.19)
Киральность поля WA означает, что суперсимметричное калибровочно-
инвариантное действие дается выражением
(15.20)
Обычно к киральным интегралам необходимо добавлять их эрмитовы
сопряжения, чтобы действие было действительным; но связь (15.19) уже
предполагает действительность, так что нет необходимости добавлять
эрмитово-сопряженные слагаемые. Для того чтобы это увидеть, заметим, что
действие имеет вид
- - JLy J dixdiQDA VD2Da V.
Рассматривая его комплексное сопряжение и используя равенство (15.19),
получаем
J d4xd4Q(DAVD2DAV)+ = J d4xd4QD2DA V (- DAV) =
