Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
Определение непосредственно обобщается на случай интегрирования по многим
антикоммутирующим переменным. Так, для двух переменных 01, 02 получаем
J dQldB2B2Bl = 1,
тогда как
^0^020! = О и т. д. (14.80)
Теперь мы построим инвариантное интегрирование по фактор-пространству
SP/L, используя супердетерминант1) репера. Пользуясь формулой (14.35) и
определением супердетерминанта, находим
с1е1Яям=1. (14.81)
Следовательно, элемент объема равен
dsz = d4x d2Q d2Q, (14.82)
где
Jd2002=l, Jd2002=l, (14.83)
или иначе
\d2Q = -±d2^-\dAdA, \d2Q = -^d2=--^dAdA, (14.84) где
Под знаком интеграла по пространству-времени производные дА и дд мы можем
заменить на ЬА и D -А соответственно. Следовательно, используя
приведенное выше определение интегрирования, получаем равенства
J d4x d4QDA<j> = J d4x d4BQA<j> = J d4x d4B dA<j> = 0 (14.85)
и аналогичные формулы для D^. Интегрирование по частям производится
следующим образом:
J d4xd4B(DA<j>l)<j>2 = - J d4x d4B<j>^DA<j>2. (14.86)
') См., например, [52, 202]. - Прим. ред.
120 ГЛАВА 14
Это позволяет строить выражения, инвариантные относительно преобразований
суперсимметрии.
В случае скалярного суперполя инвариант имеет вид
J d4x сРЪйЩ = J d4x = - j- \ D W d'x- (14-87)
Инвариантность этого интеграла можно показать иначе. Заметим, что D(x) -
поле высшей размерности, а поскольку размерность параметра преобразования
суперсимметрии е равна -1/2, супервариация D(x), которая является
линейной, должна быть пространственно-временной дивергенцией.
Для кирального суперполя (1)^ = 0) ^d4xd4B<j> = 0; тем не
менее, интегрируя по подпространству суперпространства, найдем следующий
инвариант:
| ^ d4x d2Bj> -f- эрмит. сопр. | ^ d4x-^ (/ + /*). (14.88)
Киральный интеграл можно записать как интеграл по всему
суперпространству, если воспользоваться соотношением
D2D2j> = -{-m2j>. (14.89)
В таком случае имеем
5 d4xd2Q<j> = 5 d*x [- ±D*i>] = 5 d*x (- т°2) (+ lS-ф) =
= -\d4xd4B(-g?). (14.90)
Эту формулу можно получить иначе, если учесть для связи = 0 решение
ф = -j- D2U. (14.91)
При этом мы находим
\idixd2B<!> = \id4x dW. (14.92)
По аналогии с обычным ^-пространством можно определить 6-функцию в 0-
пространстве. Возвращаясь к случаю одномерной антикоммутирующей
переменной 0, определим 6(0 - 0') следующим образом:
Г J ddf (0) 6 (0 - 0') = f (0') (14.93)
СУПЕРПРОСТРАНСТВО
121
для любых функций /. В частности, имеем
Jde 6(9-0')= 1 =^-6(9-0'). (14.94)
Поскольку переменная 0 по определению антикоммутирующая, 6-функция есть
не что иное, как
б(0-0,) = 0-е/. (14.95)
В случае {N = 1)-суперпространства определим б4 (01 - - 02) s б 12 с
помощью соотношения
^01/(01)6(01- 02) = /(02), (14.96)
которое выполняется для любых функций /. В частности, это означает, что
32<32
5 d%V (0! - 02) = 1 = -1J- б4 (0! - 02). (14.97)
Под знаком интеграла по пространству-времени мы можем ис-
пользовать формулу
D\D\б^^+Ш. (14.98)
Представим б-функцию следующим выражением:
6i2 = 4 (01- 02)2(01- 02)2. (14.99)
Приведем некоторые свойства 6-функции, весьма полезные при вычислениях с
помощью фейнмановских правил для суперграфов:
^12^12 == ^12^Л^12 " ^12^Л^12 = ^12^2^21 ~ ^12^Л^2^12 =
= б12п2612 = 61252плб12 = 0, (14.100)
612D2D2631 = 612D2D2621 = 6l2DAD2DA6l2 = б12. (14.101)
Эти формулы легко получить, используя явный вид б-функции (14.99).
Теперь можно определить функциональное дифференцирование по суперполям.
Для скалярного суперполя <j> имеем
=6*{х- х') б4 (0 - 0') = б8 (2 - г') (14.102)
и, следовательно,
TgTibГ $/<#"<•* = ¦?(#<*, 9". (14.103)
122 ГЛАВА 14
Полезно также определить функциональную производную по киральным
суперполям. Она должна быть такой, чтобы выполнялось определяющее условие
D \ ф = 0, т. е.
0. 60 е'1 =. о (14 104)
дф(х,в) U-
Поэтому примем следующее определение производной:
бф(х', в')
^-D264 (a- а') б4 (0-0'). (14.105)
бф(х, 0) -
В результате находим
бф(х\ 6') __
5 dV dVf (Ф(Х',0'))=\ dV <ПТ (ft - № вт -= J Л' d20'/' tf) ( - б4 (х
- х') б4 (0 - 0')) =
= = 0)). (14.106)
Расширенное суперпространство: общий формализм. Построим теперь фактор-
пространство - расширенное суперпространство: расширенная супергруппа
Пуанкаре/группа Лоренца. Напомним перестановочные соотношения алгебры
расширенной суперсимметрии, приведенные в гл. 2; наряду с коммутаторами
группы Пуанкаре имеем следующие соотношения:
{0м, QBi} - 2isAB (Ое)!; Ze,
{Q\, 0?,} = Ъ*ХА (Q%ze>
{QM, Qi!} = -2i(</')AbPv,itI, (14.107)
[Q*. /nv]=T(°fl'v)ABQB'* (14Л08)
[<2лг, я"] = 0, (14.109)
[QM, r]=--(tr)l,QA', (14.110)
где (Qef = - (Qe)H, i, /=1, 2, ..., N,
(0% = [(ОТГ. (14.111)
причем центральные заряды Ze выбраны действительными. Дей-
ствительность компонент связности Qe следует из майоранов-ского свойства
генератора Q. Общий элемент группы имеет вид
g = ехр { аРР^ + + eAiQAl + weZe + j wmnJmn }
, (14.112)
а элементы фактор-пространства параметризуются элементами группы вида
егЯл* = ехр {xllPu + QAtQAi + QAiQAl+zeZe\. (14.113)
СУПЕРПРОСТРАНСТВО 123
