Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
= - 2/вл (^)aa62^ "Ь эРмит- сопр. =
= + 2/вХА^ААС + эрмит. сопр. =
= - 2/в2л<т^лдв^д С + эрмит. сопр.
Результат действительно находится в согласии с формулой (14.31).
Реперы, связности и ковариантные производные. Реперы и связности можно
получить из обычных соотношений
1 + бг*еягкг + б4 }тп = ехр {- х'А\х - 04Qf - 0% } X
X ехр {(х" + б^) Рц + (0- + 604) Qa + (04 + 604) QA} - (14.32)
= 1 + 6.r'Vu + б04(3Д + 60^д + 60-04/ (а!Х)дд Р1Х + 604 (/а!Х)дд 0^.
(14.33)
Результат легко находится, если воспользоваться формулой
1 deA
Д dA = dA - ^ A A dA + ...,
где 1 AdA - dA, AAdA=[A,dA], A2 AdA-[A, [A, dA]] и т. д. Поскольку [Q, Р]
= 0, этот ряд обрывается после второго члена. Следовательно, мы находим
г р А - р А - О
°[А иМ> 9 № |Л 9
ел- = вА1(аПлЛ, еАт = ЦаПлЛеА:
(14.34)
>. в
В - о. А.
О,
а связность шЛ" обращается в нуль. В матричной форме этот результат
принимает вид
р м -
¦L,Jt
6"m О О i(om)AABA блв О Цат)А АВа 0 бдв
(14.35)
СУПЕРПРОСТРАНСТВО
113
Обратная матрица определена на суперпространстве соотношением
М г? Я а Я _______ Г? А ^ ЛГ в /V
ЕамЕмя=^ 6/ или ЕмЕа=Ьм и может быть записана в следующем виде:
6"/ 0 0'
г'Юлл0Л блв 0 ^¦Юал0Л 0
Р Л _
(14.36)
(14.37)
Используя этот репер и спиновую связность, мы можем построить
ковариантную производную. Она имеет вид
D
м'
:?/(Зл + Т"л"Ч(tm)) = D* Di)- (14'38)
где
-дт, Dt
* (Олл0Ч
(14.39)
Ковариантные производные удовлетворяют соотношениям
К. DA] = [dm, о,
{Da, Оё} = -21(от)Абдт, {Da, Db} = {Da, D6} = 0.
(14.40)
Они совершенно аналогичны, за исключением общего знака, соотношениям
алгебры операторов IА, 1-А, которые определены соотношениями (14.18).
Читатель может проверить, что построенная ковариантная производная
выполняет те функции, которых мы от нее ожидали. Явное вычисление
показывает, что
[DA.Q={DA,QB) = {DA,Qb} = 0, [DA,lmn] = 0. (14.41)
Кручение и кривизну в (N = 1) -суперпространстве, отвечающие реперу и
спиновой связности (14.35), можно найти из соотношения
[Du, Dff] - + -к R
MN
Это значит, что
(14.42)
(14.43)
Rmnrs - 0
и все компоненты кручения равны нулю, за исключением
TAAm = -2i^m)AA- (14.44)
114
ГЛАВА 14
Следовательно, (N = 1) -суперпространство есть многообразие без кривизны,
но с кручением и по определению не является римановым многообразием.
Отсюда следует, что любая теория с локальной суперсимметрией, основанная
на римановом супер-многообразии, не может содержать в качестве
предельного случая теорию с глобальным суперпространством.
Важное свойство ковариантных производных состоит в том, что они не
образуют неприводимого представления группы су-персимметрии. Например,
каждое из суперполей
Олф, Dkj>, дтф (14.45)
преобразуется в себя же и, следовательно, как мы увидим ниже, может
использоваться для наложения ковариантных связей на ф.
Ковариантные производные можно применять для вывода законов
преобразования компонентных полей в х-пространстве. Преобразование
суперсимметрии низшей компоненты С =ф | е=0 произвольного суперполя ф
имеет вид
6ф |е=0 = бС=[(бл/л+ гЧА)ф] |в_0= [{eADA + еАЪА)ф]\в=0. (14.46)
Это равенство справедливо, поскольку при 0 - 0 действия производной Da и
заряда Qa на суперполе совпадают. Высшие компоненты суперполя в
результате использования ковариант-ной производной могут стать низшими
компонентами другого суперполя. Рассмотрим суперполя
Ф. Ояф, Dsf, -±D*DAt, i[Os, Ол]ф........
(14.47)
Их компоненты при 0 = 0 соответственно равны
с, ХА, Хд> f, к, Аа6, (14.48)
Преобразования суперсимметрии данных компонентных полей можно найти с
помощью ковариантной производной, используя только соотношения (14.40):
б С = (еА0А+еАЪА)ф 1е=0 = еА%А + еа%а , (14.49)
бХл = KeBDb + e*Db ) =
=[-¦+ Д.] <¦]"." =
(14.50)
^fsA-i(am)AB^dmC+AA^ (14.51)
СУПЕРПРОСТРАНСТВО 115
и т. д. При выводе этих преобразований мы учли тот факт, что
D%a |е_о = е|е.о = - 6е А. (14.52)
Скалярное суперполе ф(г) содержит поля со спином 0, 1/2 и 1. Но
простейшая суперсимметричная модель Весса - Зумино не содержит поле со
спином 1. Для преодоления этой трудности нужно найти подмультиплеты
скалярного супермультиплета, которые при преобразованиях суперсимметрии
преобразуются в себя же и не удовлетворяют уравнениям движения. Такие
мультиплеты можно получить, накладывая на ф условия с помощью
ковариантной производной. Ковариантная связь низшей размерности имеет вид
0Аф = 0. (14.53)
Заметим, что канонические размерности ковариантных производных и
координат равны
dim [Da] = dim [c?0] = у, dim [0] = - у, а размерность производных равна
dim [aj = dim К']=1.
С помощью приведенного выше метода можно получить в х-пространстве
компонентные поля и законы их преобразования. Компонентные поля имеют вид
г = ф\в-0, Хл = 0Аф |0_о, f = - у DAD^ |0=о. (14.54)
Ясно, что в х-пространстве нет других компонент, следующих за полем /.
Применение производной Dj приводит к пространственно-временным
производным приведенных выше полей. Законы преобразования имеют следующий
