Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уэст П. -> "Введение в суперсимметрию и супергравитацию" -> 34

Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.

Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию — М.: Мир, 1989. — 329 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievsupermmermarket1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 110 >> Следующая

представления несколько сложнее. Рассмотрим сначала максвелловский
мультиплет.
Поле Аа преобразуется не только в поля Ха, D и градиентный
член. Однако поле
А'а = Аа + (13.9)
преобразуется следующим образом:
MV = Sy^ + ^(SS), (13.10)
т. е. в сумму поля Ха и градиентного члена. Напряженность поля можно
записать в виде
Fab = (д^А'ч - у - (Р "-*- v)), (13.11)
Очевидно, что мультиплет
K = (K,Fab,D) (13.12)
задает неприводимое представление локальных преобразований
суперсимметрии; роль калибровочного поля играет поле А'ц. Калибровочный
мультиплет
Y = (A'll,X,D) (13.13)
96
ГЛАВА 13
образует представление алгебры локальных преобразований совместно с
калибровочными преобразованиями (бЛ^ = (ЗцА).
Киральный супермультиплет получается, если максвелловский мультиплет
положить равным нулю. Мы находим, что A = .D = 0, a A'fi = д^А.
Остающийся киральный супермультиплет имеет вид
(А, В, Ха, F, G), (13.14)
где В = С, %a = t,a, F = H, G = К, с преобразованиями компонентных полей
бЛ = ё%, 6В = Иу5х, бх = [F + iy5G + О (Л + iy5B)] е,
х " (13.15)
б F = в 3% - кг\х, б G = + wrjYsX,
где
'-1 V - / V -
DaA = даА - -j %х, DaB = даВ ^ ФаУэХ.
•ОдХ = (Оа -g- baYs) X - Y ф (А + jy5S) + F + jy5G) г|за.
Аналог мультиплета глобальной суперсимметрии Н, представленного
выражением (11.10), не может иметь в качестве первых компонент поля Я и
К, поскольку они не образуют один и тот же спинор при преобразованиях
суперсимметрии. Решение этой дилеммы состоит в том, чтобы добавить к
полям Н и К слагаемые, пропорциональные -2/зCN и +2/зСМ соответственно.
Оба этих новые поля, в состав которых входят указанные слагаемые,
образуют при преобразованиях суперсимметрии спинор
ф=а+h+Ц- Ы+1 т- iy6N)%+|гу5а. азле)
Определение величины | будет дано ниже. При преобразовании суперсимметрии
этого спинора получаем последние две компоненты искомого нового
мультиплета. Окончательный результат имеет вид
Н = Н(К) = (я-|-СА, К + ^СМ, ф, Р, q), (13.17)
ЛОКАЛЬНОЕ ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
97
где
Р = даАа -^%У ф| г|:а(уак + Da0 - ~ gC +
+ Щ- ЪаЪаС + К(МН + хЛО - ~ x2tya (м + iy5N) у% +
+ -J 1у ¦ R + -¦ $ • уЬу& + ~ Ьа%у?, (13.18)
Q = D + da (даС - Щ- teYBS - *"Y • №аС - f ЦауМ +
+ | Cf - 4 xbaAa + ? (HN ~ КМ) -Pf^a(M + iy6N) у5у% -
- Ш • R + -JJ У(аЬу% + 4 №а) ¦
Поля f и g образуют часть кирального мультиплета, полностью составленного
из полей супергравитации. Он называется эйнштейновским мультиплетом
и представляет собой набор
полей
и = (-М, -N, §, Д g), (13.19)
где
I = Y {еУ ¦ К + Уа (М + iy5N) г|за + iy5batya),
f = ~-^R + T%уУР + iysN) % +
+ т • Ч> - (М2 + N2 + i- V) . (13.20)
g = - (eb^ - -у ijv^Ystfv -
- т tuYs (М + iysN) г|Д + i- ^6% • 'Ф-
Компоненты этого мультиплета получены с помощью последовательных
варьирований его первых компонент М и N.
Локальный линейный мультиплет получается, если положить супермультиплет М
= 0; он равен
L = (C, 5, Аа), (13.21)
где поле Аа удовлетворяет условию Р = 0.
Скалярный мультиплет S = (Л, В, %а, Р, G) позволяет образовать "общий
мультиплет"
DS = (B, Ха, F, G, ЪаА, 0, 0). (13.22)
98
ГЛАВА 13
Подставляя DS в мультиплет H(DS), заданный выражением
(13.17), получаем локальный аналог мультиплета TS, т. е.
Т (S) = Н (DS). (13.23)
Полезный киральный супермультиплет может быть построен из калибровочного
мультиплета ка-
W2 = ка • К - (u, iky5Я, 2 ( - 4- <yabFab + iybd) я,
(-rv^v - 2кЗк + 2D2), (4-^vp%vFpx+ .
Объединим теперь два супермультиплета, чтобы получить третий
супермультиплет. Построение производится точно так же, как в случае
глобальной суперсимметрии; выбираем некоторое выражение, билинейное по
компонентным полям, и последовательно варьируем его для нахождения других
компонент составного супермультиплета. Результат комбинирования кираль-
ных супермультиплетов Ai и А2, обозначаемый Ai-A2, идентичен полученному
в случае глобальной суперсимметрии мульти-плету (11.20). Конечные
результаты для комбинаций мультиплетов СрСг, Ai X А2 и AiAA2, где Q и С2
- общие мультиплеты, также совпадают с выражениями (11.18), (11.22) и
(11.24), если заменить все пространственно-временные производные
ковариаитными, т. е. если провести замены
д^С-^б^С, д^А-^Ъ^А, д^В-^б^В,
В этих формулах не появляются производные других компонентных полей.
Последний раздел тензорного исчисления позволяет находить формулы для
инвариантной плотности, которые являются обобщением формул для плотностей
в теориях с глобальной суперсимметрией:
[S]f = J d*xF, [V]D = J d4xD. (13.25)
Эти формулы могут быть найдены с помощью нётеровского метода. Рассмотрим
вариацию интеграла ^ d4xD:
б ^ d4xD) = ^ d4x (-д^е) iy^k + О {%). (13.26)
Члены разложения инвариантного действия порядка %° имеют вид
^4x{d + -4-^y5V^ + 0(x)}. (13.27)
ЛОКАЛЬНОЕ ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 99
Как было объяснено выше, теперь необходимо добавить к действию слагаемые,
восстанавливающие инвариантность в каждом порядке разложения по к;
локальные преобразования полей D,k, ... уже были установлены и приведены
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed