Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
замкнутость алгебры последовательно для каждого порядка разложения по
константе взаимодействия, модифицируя в каждом порядке законы
преобразования и соотношения, дающие условия замкнутости алгебры. Полный
набор преобразований позволяет без труда найти окончательное действие,
если оно существует.
44
ГЛАВА 7
Вернемся к суперсимметричной теории Янга - Миллса. Линеаризованная теория
рассмотрена в гл. 6, посвященной су-пер-КЭД. Глобальные Т{ и локальные
Л'(*) преобразования полей Аа1, А/, D' имеют следующий вид:
б Aj = siikTjAak, bV = siihTjXk, bDl = sijkT!Dk; (7.15) б Аа' = даА', bD'
= 0, 6А' = 0. (7.16)
Преобразования суперсимметрии имеют вид бЛа'' = ёуХ бД = - 1 0с%е +
гузО'е, б/У = гёуздА1'. (7.17)
Эти преобразования образуют замкнутую алгебру и оставляют
инвариантным следующий лагранжиан невзаимодействующих полей:
L = - т -1 + Т °>-2- (7-18>
Воспользуемся нётеровским методом для нахождения нелинейной теории.
Заменяя глобальное преобразование полей AaL локальным, необходимо, как и
в случае теории Янга - Миллса, связать два типа преобразований вместе (т.
е. Л'(х) = = (1 /ё) Т' М), чтобы получить замыкание алгебры калибровочных
преобразований Аа1- Замыкание упомянутых преобразований и преобразований
суперсимметрии означает, что глобальные преобразования полей А/ и D1
также становятся локальными. Это частное замыкание требует также, чтобы
все преобразования суперсимметрии модифицировались за счет включения
ковариантных величин. Например, для коммутатора преобразований,
действующих на поля D?, находим
[бг, б= (7.19)
в результате имеем, что в выражении для вариации bDl (7.17) необходимо
заменить на й5Д'- дД'--gsiikAai'kk¦ Тогда
коммутатор [бд, 6е] равен нулю во всех порядках по константе g.
Преобразования суперсимметрии принимают вид
бД/ = ёуДЛ бАг=(-у0с^г + гу5Г>г)е, bDl = iey62)V,
(7.20)
где
Fab = даАь1 - dbAal ~ gsilkAjAbk.
Теперь необходимо убедиться в замкнутости этих преобразований
суперсимметрии. Для других суперсимметричных калибровочных теорий следует
добавить дополнительные члены, восстанавливающие замкнутость. Но в данном
случае калибровоч-
ТЕОРИЯ ЯНГА -МИЛЛСА С N - 1 И МЕТОД НЕТЕР
45
ная инвариантность и анализ размерности гарантируют, что членов, которые
можно было бы добавить к преобразованиям суперсимметрии, не существует и,
следовательно, преобразования (7.20) должны быть полной системой
преобразований этой теории. Читатель может убедиться во внутренней
согласованности теории, проверив, что алгебра в самом деле замкнута.
Действие, инвариантное относительно этих преобразований, имеет вид
А = J d4x { - 4 (Fablf - | 14)^ + j D? }. (7.21)
Нётеровскую процедуру можно также применить к действию. В этом случае
калибровочная инвариантность означает, что действие определяется
выражением (7.21). Требование, чтобы калибровочно-инвариантное действие
было суперсимметричным, приводит к модификации преобразований
суперсимметрии, которые в конечном итоге имеют вид (7.20).
8. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ СУПЕРСИММЕТРИИ [11]
В этой главе мы построим неприводимые представления группы
суперсимметрии, или, другими словами, узнаем, какие частицы могут
описываться суперсимметричными теориями. Как хорошо известно,
неприводимые представления группы Пуанкаре были получены с помощью метода
индуцированных представлений Вигнера [12]. Этот метод состоит в
нахождении представления подгруппы группы Пуанкаре и в применении к нему
преобразований Лоренца, дающих в результате представление полной группы.
На практике применяют следующий способ. Выбирают некоторый импульс q^,
удовлетворяющий уравнению Pp.2 = О или Рр2 = -т2 в зависимости от
рассматриваемого случая. Находят подгруппу Н, относительно действия
которой импульс q^ инвариантен, и строят представление Н на состояниях |
q^y. Затем обычным образом с помощью метода индуцирования получают
представление полной группы Пуанкаре. При таком построении имеется
взаимно-однозначное соответствие между элементами фактор-пространства Р/Н
и 4-импульсом, удовлетворяющим уравнению Рр2 = 0 или Рр2 = -т2. Можно
показать, что построенное представление не зависит от выбора
первоначального импульса qv.
В дальнейшем мы не станем обсуждать неприводимые представления в общем
случае, а только те из них, которые относятся к покоящейся системе, т. е.
представления группы Н на состояниях, отвечающих системе покоя. При этом
мы не допустим ошибки, так как представления группы Пуанкаре Р
индуцируются представлениями подгруппы Н, образованными из состояний
системы покоя; причем любое неприводимое представление группы Пуанкаре
однозначно индуцируется из соответствующего неприводимого представления
подгруппы Н.
Эта процедура построения представлений имеет простую физическую
интерпретацию, а именно свойства частицы полностью определяются ее
поведением в данной системе отсчета (т. е. для данного q^). Из
представления с данным qv- образуется общее представление, если перейти с
