Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
нулевыми спинами и майорановским состоянием со спином 1/2, либо с одним
безмассовым состоянием со спином 1 и майорановским состоянием со спином
1/2.
Останавливаясь на первой возможности, имеем майоранов-ский спинор %а и
два состояния с нулевым спином, которые описываются скалярным полем А и
псевдоскалярным полем В. Для простоты начнем с построения свободной
теории; поля А, В
32
ГЛАВА 5
и %а тогда удовлетворяют уравнениям
д2А = д2В = д)с = 0. (5.3)
Построим теперь преобразования суперсимметрии, задающие неприводимые
представления группы симметрии. Поскольку выражение saQa безразмерно, a
Qa в единицах массы имеет размерность + 1/2, параметр ё" должен иметь
размерность -1/2. На основании линейности теории, анализа размерности, а
также из соображений лоренцевой инвариантности и четности можно записать
следующие преобразования:
б А = IQA - &%, б В = i&y5%, \ - д (аЛ + ?>iy5B) г, (5.4)
где аир - неизвестные коэффициенты.
Форма вариации поля А очевидна; появление же производной в вариации б % -
это единственный способ смешивания полей разной размерности, не выходящий
за рамки линейных преобразований. Не составляет труда убедиться в том,
что эти преобразования не изменяют полевых уравнений (5.3).
Можно проверить, образуют ли эти преобразования алгебру (N = 1)-
суперсимметрии, введенную в гл. 2. Коммутатор двух преобразований
суперсимметрии, действующих на поле А, имеет вид
[б" б2] А = [SiQ, e2Q]A, (5.5)
или, после применения (2.27),
[б1; б2] А = 2l2ya&iPaA = 2ё,2уав1даА,
так как
Ра = да. (5.6)
С другой стороны, из преобразований суперсимметрии (5.4) следует
[бь б2] А = ё2д (аЛ + iysfiB) ех - (1 •*-*¦ 2) = 2ae23e^. (5.7)
В последнем равенстве использованы свойства майорановских
спиноров (см. приложение А), поэтому нет члена, содержащего поле В. Если
а = +1, то это действительно 4-трансляция, требуемая алгеброй.
Следовательно, а = +1. Вычисления для
поля В аналогичны и дают р = +1. Действие коммутатора двух преобразований
суперсимметрии на поле %а дает
[бе,, % = д [ea + iYsMvsX] е2 - (1 -¦ 2) =
== - 4" (r)iYRe2^[Y/г + ^YsY^Ys] % - (1 ^ 2) =
= + 4" 12Уа^дуа% = 2ё2де1х - г2У%УадХ-
(5.8)
МОДЕЛЬ ВЕССА -ЗУМИНО
33
При вычислениях использовано преобразование Фирца (см. приложение А), а
также свойства майорановских спиноров. Поле %<х удовлетворяет уравнению
движения д% = 0; учитывая это, получаем окончательный ответ:
[Si, 62] х = 2e2aeiX, (5.9)
который является следствием алгебры суперсимметрии. Читатель может без
труда убедиться, что поля А, В и %а, заданные на массовой поверхности (т.
е. д2А = д2В = д% = 0), совместно с преобразованиями
6A = e%, 6В = Иу5х, Ь% = д (А + г'у5В)е (5.10)
образуют представление полной алгебры суперсимметрии.
Пусть теперь поля А, В и %а не подчиняются более уравнениям движения.
Лагранжиан, из которого следуют эти уравнения, имеет вид
L = -±(dllAf-±(dllBf-±xh. (5.11)
Легко доказать, что действие ^ dixL действительно инвариантно
относительно преобразований (5.10). Доказательство инвариантности не
требует использования уравнений движения. Трудность, связанная с такой
формулировкой, состоит в том, что если поля А, В и не удовлетворяют
полевым уравнениям, то они не образуют представления алгебры
суперсимметрии, о чем свидетельствует последний член в (5.8).
Целесообразно ввести следующую терминологию. Неприводимое представление
суперсимметрии, образуемое полями, удовлетворяющими уравнениям движения,
будем называть представлением на массовой поверхности. Будем также
употреблять выражение лагранжиан физических полей, если лагранжиан
составлен из полей, образующих представление на массовой поверхности (т.
е. не образующих представления вне ее), и инвариантен относительно
преобразований суперсимметрии. При этом лагранжиан (5.11) - лагранжиан
физических полей.
Поля А, В и %а не образуют представление суперсимметрии вне массовой
поверхности, что можно видеть без каких-либо вычислений, поскольку они не
удовлетворяют сформулированному выше правилу равенства числа фермионных и
бозонных степеней свободы. Действительно, вне массовой поверхности поля А
я В имеют две степени свободы, а поле %а - четыре. Ясно, что в
зависимости от способа описания на массовой поверхности или вне ее
представления суперсимметрии должны радикально изменяться.
34
ГЛАВА 5
Возможный выход из этого двойственного положения - добавление двух
бозонных полей F и G, которые должны восстановить равенство ферм ионных и
бозонных степеней свободы вне массовой поверхности. Эти дополнительные
поля должны входить в лагранжиан так, чтобы не было новых состояний на
массовой поверхности. Как следствие упомянутые поля должны появляться в
лагранжиане в виде -)- 1/г^72 + V2G2, что предполагает билинейную форму
свободного действия, и, следовательно, его размерность равна 2. Из
соображений размерности следует, что преобразования суперсимметрии для
этих полей имеют ннд
б F = ld%, 6G = isy5dx, (5.12)
причем подразумевается, что F и G - скаляр и псевдоскаляр соответственно.
