Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
На основе анализа размерности поля F и G не содержатся в вариации 6Л (или
б В), но вариация 6%а содержит их:
бх = [(^ + МьG) + д (А + iy5B)] е, (5.13)
где р и т - безразмерные параметры.
Преобразования суперсимметрии можно изменить лишь таким образом, чтобы
при переходе на массовую поверхность
(т. е. когда F = G = д% = д2А = д2В = 0) восстанавливались
преобразования (5.10).
Теперь необходимо проверить, действительно ли эти новые законы
преобразования образуют представление алгебры суперсимметрии. В самом
деле, прямые вычисления показывают, что это так, если р = т==+1.
Представление суперсимметрии, включающее поля А, В, %а, F и G, было
найдено Вессом и Зумино [3]:
бЛ = &%, б В = И у5Х,
бх = [F + iYsG -b д (Л + iy5B)] е, (5.14)
б F - ед%, б G = геу5<Эх.
Действие, инвариантное относительно этих преобразований, имеет вид
A=\d*x{-±(<ЭцЛ)2~Т В)2+ + | G2}.
(5.15)
Как и ожидалось, поля F и G входят квадратично, без производных и, таким
образом, не приводят к появлению новых состояний на массовой поверхности.
МОДЕЛЬ ВЕССА - ЗУМПНО
35
Приведенное выше построение модели Весса - Зумино типично для общей
свободной суперсимметричной теории. Начиная с состояний на массовой
поверхности, приведенных для любой модели в гл. 8, строим законы
преобразования на массовой поверхности. Затем можно найти лагранжиан,
инвариантный относительно преобразований вне массовой поверхности, но не
содержащий вспомогательных полей. Далее пытаемся найти вспомогательные
поля, приводящие к алгебре суперсимметрии вне массовой поверхности. После
того как поля найдены, можно строить соответствующее действие вне
массовой поверхности. В последующих главах обсуждаются способы построения
нелинейных теорий из свободных теорий.
Первый из этих двух этапов построения (т. е. нахождение лагранжиана,
инвариантного вне массовой поверхности) всегда возможен; но, за редким
исключением, не существует определенного пути нахождения необходимых
вспомогательных полей. Легко увидеть, что это является следствием нашего
правила равенства чисел фермионных и бозонных степеней свободы в любом
представлении суперсимметрии. Только состояния со спином нуль,
представленные скалярами, имеют одинаковое число компонент поля на
массовой поверхности и вне ее. Например, для фермиона со спином 1/2,
представленного майоранов-ским спинором разность числа степеней свободы
на массовой поверхности и вне ее равна 2, а для безмассового бозона со
спином 1, представленного векторным полем Лд, та же разность равна 1. В
последнем случае важно вычесть одну калибровочную степень свободы; таким
образом, вне массовой поверхности остаются 3 компоненты поля Лд (см. гл.
6). Поскольку уход с массовой поверхности приводит к разному увеличению
числа степеней свободы фермионов и бозонов, равенство, установленное для
состояний массовой поверхности, нарушается вне ее. Необходимое равенство
должно быть восстановлено введением полей, подобных F и G, которые не
приводят к дополнительным состояниям на массовой поверхности. Эти
последние поля называются вспомогательными полями. Вся проблема
нахождения представлений суперсимметрии сводится к определению
вспомогательных полей.
К сожалению, найти вспомогательные поля совсем не легко. Хотя правило
равенства чисел фермионных и бозонных степеней свободы позволяет найти
необходимое число вспомогательных полей, оно не говорит нам, какие эти
поля и каковы их законы преобразования. Действительно, вспомогательные
поля известны почти для всех (N - 1, 2)-суперсимметричных теорий
36
ГЛАВА 5
и для очень немногих (N = 4) -теорий. Вспомогательные поля для теорий с
более высокими N неизвестны. В частности, они неизвестны для (N = 8)-
супергравитации.
Теории, для которых вспомогательные поля неизвестны, могут тем не менее
описываться так же, как модель Весса и Зу-мино, не содержащая
вспомогательных полей F и G (5.11), а именно с помощью лагранжиана
физических полей. Такие лагранжианы нетрудно построить по крайней мере в
теории без взаимодействия. Как объяснено в гл. 8, легко найти
соответствующие состояния на массовой поверхности. Затем остается только
учесть известные кинетические члены для полей с разными спинами.
Конечно, в действительности нас интересует взаимодействие. Форма
взаимодействий обычно определяется принципами симметрии, такими, как
калибровочная инвариантность в вышеприведенном примере или
общекоординатная инвариантность в случае теории тяготения. Когда форма
взаимодействий диктуется локальной симметрией, существует прямой, хотя,
возможно, очень длинный путь получения нелинейной теории из линейной.
Этот метод, называемый нётеровской связью, описан в гл. 7. В том или ином
виде такой метод вычислений используется для построения нелинейных
"лагранжианов физических полей" для всех суперсимметричных теорий.
У читателя может возникнуть вопрос: удовлетворительны ли лагранжианы
физических полей? Необходимы ли в действительности вспомогательные поля?
