Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
помощью преобразований Лоренца к движущейся системе отсчета или поместить
наблюдателя в эту систему.
Метод индуцированных представлений,. кратко изложенный выше для группы
Пуанкаре, можно обобщить для любой груп-
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ СУПЕРСИММЕТРИИ 47
пы вида S <8> Т, где символ <8> обозначает полупрямое произведение групп
S и Т, Т - абелева группа. Метод применим также для группы
суперсимметрии, и мы примем как само собой разумеющееся, что приведенная
процедура построения корректна и действительно дает все неприводимые
представления группы суперсимметрии.
Рассмотрим сначала безмассовый случай = 0, для которого выберем
стандартный импульс в "системе покоя" qvs = = (m, 0, 0, т). Теперь нужно
найти элементы группы Н, относительно действия которых импульс q^s = (т,
0, 0, т) инвариантен. Очевидно, эта подгруппа содержит Qal, и Ts, так как
все эти генераторы коммутируют с Рц и, следовательно, преобразуют
состояния с определенными q^s друг в друга. В безмас-совом случае
пренебрегаем центральными зарядами.
При преобразованиях группы Лоренца действие генератора I/2AtlvJtlv
порождает инфинитезимальное преобразование q
A^vqv + qv. Следовательно, импульс q^s остается неизменным, если
параметры преобразования удовлетворяют соотношениям
А30 = О, Л[ о + А[ з = 0, Л2о + Л2з = 0. (8.1)
Таким образом, лоренцевы генераторы группы Н имеют вид
^1 = Л 0 + h 3. ^2 = ^20+^23> J = J\2- (8.2)
Эти генераторы образуют алгебру
[TltJ] = -T2, [T2,J] = + TU [ТьТ2\ = 0. (8.3)
Читатель может узнать в соотношениях (8.3) алгебру Ли группы Е2, т. е.
группы трансляций и вращений в двумерной плоскости.
Напомним, что генераторы Т\ и Т2 для конечномерного унитарного
представления группы Е2 могут быть только тривиальными:
Т11 q^s) = 1 Q^s) = 0. (8.4)
Это следует из теоремы, согласно которой все нетривиальные унитарные
представления некомпактных групп бесконечномерны. Нас будут интересовать
только конечномерные представления подгруппы Н.
В результате для безмассовых частиц представления подгруппы Н группы
Пуанкаре следуют из представлений группы Е2, поэтому они находятся с
помощью единственного генератора J. Выберем состояния таким образом, что
/1 Я) = г'Я | Я) (8.5)
48
ГЛАВА 8
(считаем генераторы антиэрмитовыми). В самом деле, J - оператор
спиральности, поэтому выбираем Я целым или полуцелым (т. е. при q = (0,
0, 0, т) имеем / = q X J/| q |, где
it j, k = 1, 2, 3).
Рассмотрим теперь действие суперзарядов Qal на состояние системы покоя
l^s). Вычисления проще производить в двухкомпонентном формализме
алгебры суперсимметрии (2.23). В си-
стеме покоя имеем
Требование, чтобы норма физических состояний была положительно
определена, дает
Следовательно, все генераторы группы Н, кроме J, Ts, Р^, Qр и Qp,
действуя на состояния системы покоя, дают нулевой результат. Используя
(2.23), находим
Аналогично для комплексно-сопряженного выражения имеем
Соотношения между остальными генераторами (8.7), (8.10),
(8.11) и (2.24) позволяют в итоге утверждать, что QP и (Qi')*
образуют алгебру Клиффорда операторов рождения и уничтожения (увеличивая
или уменьшая спиральность состояния на 1/2) и преобразуются по
представлениям N и N группы SU{N).
Найдем представления этой алгебры обычным образом. Выберем состояние с
данной максимальной спиральностью, например Я, и пусть оно будет
вакуумным состоянием для оператора
{QAi, Q6i} = -26/ (о")Лй = -26/ (00 + о3)Аё т =
(8.6)
В частности, отсюда следуют соотношения
{QU, Q'/} = 0, {(f, Q2/} = 4тб'/,
{Qli, (?'} = {q\, Q2/} = 0.
(8.7)
Из первого соотношения следует
(<Я I (Qu (Q"T + (QUTQU) I <Л> = 0.
(8.8)
Q2l I <Л) = Qa | я\) = °-
(8.9)
(8.10)
[(QiT, /] = + у"г,'л
(8.11)
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ СУПЕРСИММЕТРИИ 49
(QiO т ^
(Qi')l ^> = 0, /| Я) = гЯ|Я).
(8.12)
Тогда состояния этого представления имеют вид I Я) = | Л.), | Л, - 1/2, 0
= (Qi'm>, 1Л-1, [i/]) = (QiT(Qi/ru)
(8.13)
и т. д. Такие состояния имеют указанные спиральности и принадлежат
антисимметричному представлению [ijk...] группы SU(N). Ряд оборвется
после значения спиральности, равного к- (N/2), поскольку следующее
состояние антисимметрично по отношению к перестановкам N + 1 индексов1).
Значения спиральности меняются от к до к- (N/2), и имеется N\/(m\(N- -
т)\) состояний со спиральностью к- {т/2).
Для получения ряда состояний, отвечающих частицам со спиральностями обоих
знаков, необходимо добавить к множеству представлений, рассмотренному
выше, такие, для которых значение спиральности меняется от -к до -к-{-
{N/2). Исключения составляют так называемые СРГ-самосопряженные наборы
состояний, которые содержат состояния со спиральностями обоих знаков.
Представления полной группы суперсимметрии получаются с помощью
лоренцевых преобразований упомянутых выше состояний в соответствии с
методом индуцированных представлений Вигнера.
Следовательно, безмассовое неприводимое представление (N = 1) -
суперсимметрии содержит лишь два состояния со спиральностями кик- 1/2:
