Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
выбора вспомогательного псевдоскалярного поля D.
Инвариантное действие дается выражением
А = J dAx{ - |(U2+ ±D2}. (6.11)
7. ТЕОРИЯ ЯНГА -МИЛЛСА С N = 1 И МЕТОД НЁТЕР
Любая нелинейная теория, вид которой определяется калибровочным
принципом, может быть построена с помощью метода Нётер1). Поскольку
нётеровский метод важен для построения теорий супергравитации,
воспользуемся случаем и проиллюстрируем использование его в рамках более
простой суперсимметричной теории Янга- Миллса [10].
Начнем с построения собственно теории Янга - Миллса из линеаризованной
(свободной) теории. Свободная теория инвариантна относительно двух
различных преобразований: глобальных и абелевых локальных. Глобальные
преобразования порождаются группой S с генераторами Rit удовлетворяющими
соотношениям
[Ru R,] = stlkRk. (7.1)
Структурные константы sijk можно выбрать полностью антисимметричными. В
результате действия этих преобразований векторные поля Аа' преобразуются
следующим образом:
б Aal = siikT,Aak, (7.2)
где Т, - инфинитезимальные параметры группы. Другой тип преобразований -
локальные абелевы преобразования
6Д/ = даА1. (7.3)
Очевидно, что оба этих вида преобразований вместе образуют замкнутую
алгебру2). Линеаризованная теория, инвариантная относительно
преобразований (7.2) и (7.3), определяется действием
где
!1аь = даАь1 -дьАа1. (7.4)
Нелинейная теория строится в результате выполнения ряда операций, первая
из которых - замена глобального преобразо-
') Обсуждение процедуры Нётер в контексте теории супергравитации см. в
работе [9].
2) В частности, можно показать, что [6Л, бг] Аа1 = да (sllkTjAky
42
ГЛАВА 7
вания локальным, т. е. Т,- = Т,(х). Теперь действие А более не
инвариантно относительно преобразований
б Aai = siikTi{x)Aak, (7.5)
но его вариация может быть записана в виде
б A=\d4x{(daTk(x))j\}, (7.6)
где
Рассмотрим тем не менее действие А\, которое имеет вид
Al = A-±g\dix(Aaijai), (7.8)
где g- константа калибровочного взаимодействия. Оно инвариантно с
точностью до членов порядка g° относительно комбинированного
преобразования, составленного из преобразований Ti(x) и Ai(x), причем
Ai(x) -(\/g)Ti(x). Таким образом, первоначально независимые локальное и
глобальное преобразования линейной теории связаны в единое локальное
преобразование:
ЬАа1 = у даТ1 (х) + siikT, (х) Аа (х). (7.9)
Первый член в преобразовании 8Аа1 дает как раз такой вклад в последнее
слагаемое действия А\, который уничтожает нежелательную вариацию действия
А.
Продолжим процесс последовательных приближений для лагранжиана и
преобразований, учитывая все более высокие члены разложения по параметру
g, пока не получим инвариантный лагранжиан.
Вариация действия Ах при преобразовании (7.9) имеет порядок g и равна
6At = J d*x {- g (Aa'Abisktl) (AidaT-sklm)}. (7.10)
Действие, инвариантное с точностью до членов порядка g2y имеет вид
А2 = Ay. + J d*x-? (AalAb!sklI) (AblAamsktm) =-±\d*x (Fablf,
(7.11)
где
Fab = daAbl - dbAal - gsiikAjAbk. (7.12)
Действие A2 инвариантно относительно преобразований (7.9) во всех
порядках разложения по константе g и, таким образом,
ТЕОРИЯ ЯНГА -МИЛЛСА С N = 1 И МЕТОД НЁТЕР
43
представляет собой окончательный ответ. Это, конечно, хорошо известное
действие теории Янга - Миллса. Коммутатор двух преобразований полей Аа'
имеет вид
Сбг" бГа] AJ = si!kT2j (-1 daTlk + sklmTxlAam) - (1 2) =
=|ааг12ЧА2Л, (7ЛЗ)
где
т ____ с(/"7' т
1 1 2 i - & 1 2lfe,
таким образом, преобразования образуют замкнутую алгебру.
Для супергравитации и других локальных теорий процедура аналогична, хотя
и более сложна. Существенные этапы продвижения состоят в переходе от
глобальных преобразований к локальным и далее в последовательных
приближениях все более высокого порядка по соответствующей константе
калибровочного взаимодействия для нахождения инвариантных лагранжианов.
Конечный результат получается, как правило, после добавления необходимых
слагаемых не только в действие, но также и в законы преобразования полей.
В последнем случае следует проверять замкнутость алгебры на каждом этапе
разложения по константе калибровочного взаимодействия.
Несмотря на то, что можно использовать нётеровскую процедуру, опирающуюся
на существование действия, применим также нётеровский метод, в котором
используются только законы преобразования. Этот нётеровский метод для
теории Янга- Миллса применяется следующим образом: заменяя глобальные
преобразования локальными, подобно тому как это сделано в (7.5), найдем,
что алгебра теперь не замкнута, т. е.
[бл, бг] Аа1 = да (siik (TjAk)) - siik (даТ,) Aft. (7.14)
Преодолеть эту трудность можно, комбинируя одновременно два
преобразования, как было объяснено выше. Используя новое преобразование
(7.9) для полей Аа', необходимо проверить замкнутость алгебры с точностью
до членов порядка g°. В действительности в данном случае замкнутость
имеется во всех порядках разложения по константе g, и, таким образом,
процесс вычислений заканчивается. Но в общем случае следует проверять
