Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
поля фу при условии бз = 0. Следовательно, положим 61=63 = 0.
ПРОСТАЯ СУПЕРГРАВИТАЦИЯ 59
Необходимо также вычислить коммутатор двух преобразований суперсимметрии,
действующих на поле h^:
[SEl, 6Ё2] v = + у + (ц <-> v)} - (1 2) =
= б2 {ё2Уьщд^НЬу - е2уагудаН^ - (р v)}. (9.7)
Это калибровочное преобразование поля hv,v с параметром Ь2г2\ьг\НЬу,
которое одновременно является пространственно-временной трансляцией.
Последняя не противоречит групповым свойствам суперсимметрии, если 62 = -
1, поэтому мы выберем данное значение этого параметра.
Важно подчеркнуть, что линеаризованная теория супергравитации отличается
от модели Весса - Зумино тем, что в ней для получения замкнутой алгебры
необходимо наряду с глобальными преобразованиями суперсимметрии (9.4)
учитывать еще и калибровочные преобразования (9.1). В результате
образуется алгебра (N = 1)-суперсимметрии, дополненная калибровочными
преобразованиями. Эта алгебра редуцируется до алгебры (N = 1) -
суперсимметрии только на калибровочно-инвариантных состояниях.
Для коммутатора двух преобразований суперсимметрии, действующих на поле
фц, находим
[\, бв2] % = - <УаЬдае2-^ (eiY64V + ё^Фй) - (1 2) =
= + YTJ eiY*e2(TabdaY* (y*4V + Y^s) - (1 2) ==
= Y eiY*e2(TQV (y*4V +y Y|A&) +
+ дц. (у e^e^VYftil'a) -(1-^2), (9.8)
где il3p.v = - cMv Используя различные формы уравнения
движения Рариты - Швингера
#"=0, <=$- Y^nv = Фрт + у гУ5е^ркФРИ = 0. (9-9)
получаем окончательный ответ:
[Se,> бв2] Фц = (- eaY^iY't'c +
+ ye1Y^e2(TabYRY64>a) - (1 ^2). (9.10)
Это как раз требуемый результат: трансляция и калибровочное
преобразование поля фц.
60
ГЛАВА 9
Читатель может убедиться, что относительно преобразований (9.4),
параметры которых принимают значения 6i = 63 = 0, 62 = -2, уравнения
движения полей huv и фда действительно инвариантны.
Неприводимое представление суперсимметрии, осуществляемое полями huv и
'фда, удовлетворяющими уравнениям движения, позволяет найти лагранжиан
физических полей. Действие [14, 15], из которого следуют полевые
уравнения (9.2), имеет вид
А= (9.11)
Оно инвариантно относительно преобразований (9.4), если значения
параметров 61, б2 и б3 соответствуют сделанному выше выбору. Как и для
модели Весса - Зумино, действие инвариантно и вне массовой поверхности.
Желательно найти формулировку линеаризованной теории, основанную на
полях, реализующих представление суперсимметрии без наложения каких-либо
связей (т. е. исключая уравнения движения), а именно ввести
вспомогательные поля. Для их определения мы можем воспользоваться нашим
правилом равенства ферми-бозе состояний; поскольку алгебра содержит
калибровочные преобразования, это правило следует применять только к
калибровочно-инвариантным состояниям. На массовой поверхности поле h^,
так же как и поле фда, имеет две спиральности. Но вне массовой
поверхности huv имеет (5X4)/2= = 10 степеней свободы минус 4
калибровочные степени свободы, что дает 6 бозонных степеней свободы. С
другой стороны, поле вне массовой поверхности имеет 4X4=16 степеней
свободы минус 4 калибровочные степени свободы, что дает в результате 12
фермионных степеней свободы. Следовательно, вспомогательные поля должны
содержать 6 бозонных степеней свободы. Таким образом, если имеется п
вспомогательных фермионных полей, то следует ввести Ап + 6
вспомогательных бозонных полей.
Предположим, что существует минимальное описание, т. е. вспомогательных
фермионных полей (спиноров) нет. Предположим также, что лагранжиан
содержит квадраты вспомогательных бозонных полей, размерность которых 2,
и не содержит их производных (подобно полям F и G). Следовательно, имеем
6 вспомогательных бозонных полей, и остается только найти их лоренцевы
свойства и преобразования. Предположим, что такими полями являются скаляр
М, псевдоскаляр N и псевдовектор 6^, а не антисимметричный тензор или 6
полей со спинами 0. Мотивированные аргументы в пользу такого выбора будут
приведены ниже.
ПРОСТАЯ СУПЕРГРАВИТАЦИЯ
61
Другая возможность - введение полей Лц и ак%, удовлетворяющих
калибровочным преобразованиям бЛц = дцЛ, бак% = = дкА% - д\Ак. Вклад в
действие слагаемого euvp^ix(3vaPK не приводит к появлению
распространяющихся степеней свободы.
При переходе к массовой поверхности преобразования полей huv, 'Фиа, М, N
и должны претерпевать изменения и совпадать с найденными ранее
преобразованиями на массовой поверхности. Это ограничение, соображения
размерности, а также тот факт, что если вспомогательные поля исключаются
на массовой поверхности, то они должны удовлетворять уравнениям движения,
приводят к следующим преобразованиям [16, 17]:
S/V = -j (ёУрФу + <^Фр)>
6Фра = - <7аЧЛре - j Yp (М + iybN) е + Ь^у5в + б6у^Ыу5г, (9 л 2)
6 М = 64ёу • R, б N = b5iey5y ¦ R,
ЬЬ^ = + б7гёу5^(х + 58гёу5у • R.
Требование, чтобы преобразования (9.12) и калибровочные преобразования
(9.1) образовывали замкнутую алгебру, позволяет определить значения
параметров 64, 65, бб, 67 и бе- Например, коммутатор двух преобразований
