Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уэст П. -> "Введение в суперсимметрию и супергравитацию" -> 23

Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.

Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию — М.: Мир, 1989. — 329 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievsupermmermarket1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 110 >> Следующая

суперсимметрии, действуя на поле М, дает
[6б1, <4] М = 64{- г2уНхд^М+ Шё^^е! (1 + 366)<ЭД,}, (9.13)
т. е. искомый результат при условии, что 64 = -1/2 и бб = = -1/3.
Действуя коммутатором двух преобразований суперсимметрии на все поля,
найдем условия замкнутости алгебры:
б4 = -1/2, 65 = -1/2, 66 - -1/3, 67 = 3/2, б8 - -1/2. (9.14)
В дальнейшем мы будем использовать эти значения параметров. Действие,
содержащее поля h^v, М, N и Ьи и инвариантное относительно преобразований
(9.12), при выбранных выше значениях параметров имеет вид
А = \d*x { - ±- 4-^{M2 + N2- bl) } . (9.15)
Это свободное действие (N = 1) -супергравитации. Исключая вспомогательные
поля М, N и Ьи, получаем лагранжиан физических полей, которому
соответствует действие (9.11).
Нелинейная теория. Полную нелинейную теорию супергравитации можно
получить из линеаризованной теории, рассмотренной выше, применяя метод
Нетёр, описанный в гл. 7. Чита-
62
ГЛАВА 9
тель может заметить, что аналогично теории Янга - Миллса линеаризованная
теория обладает локальной абелевой инвариантностью (9.1) и, кроме того,
инвариантна относительно глобальных (т. е. содержащих постоянные
параметры) преобразований суперсимметрии (9.4).
Будем действовать так же, как в случае теории Янга - Миллса, и сделаем
параметр глобального преобразования зависящим от пространственно-
временных переменных, т. е. положим в преобразованиях (9.4) е = е(х) ь).
Теперь линеаризованное действие (9.15) не инвариантно, но его вариация
должна иметь вид
6Л0 = \ ЛсдцёУа, (9.16)
поскольку действие инвариантно при постоянных ё". Величина /иа
пропорциональна полю и линейна по бозонным полям /г^, М или N и 6^. Ее
можно восстановить из соображений размерности:
/цо <MPH>Vp "Т • • • •
Рассмотрим теперь действие вида
Л, = Л0 -(9.17)
где % - гравитационная постоянная. Если объединить ставшие теперь
локальными преобразования (9.12) и локальное абелево калибровочное
преобразование Рариты - Швингера (9.1) с параметрами ч\{х) = {2/%)г{х),
то действие Л инвариантно относительно этого комбинированного
преобразования с точностью до членов порядка Это означает, что мы имеем
преобразование
\ дце (х) - dahblloabe (х) - ~ Уц (М + iy6N) е (х) +
+ 1У5 (бц - yYn^eW, (9Л8)
а остальные поля преобразуются как и раньше, но с параметром е, зависящим
от координат пространства-времени.
Точно так же, как и для теории Янга - Миллса, два типа преобразований,
оставляющих инвариантным линеаризованное действие, связаны вместе и
образуют единое преобразование, причем роль калибровочной константы в
данном случае иг-
1) Параметр е(х)-функция с антикоммутирующими значениями из алгебры
Грассмана (см. примечание на с. 18).-Прим. ред.
ПРОСТАЯ СУПЕРГРАВИТАЦИЯ
63
рает гравитационная постоянная я. Добавление слагаемого (-и/4)г|#/Д к
действию А0 приводит к цели; его вариация имеет вид
¦ 2 ¦ (дцё) + слагаемые порядка я. (9.19)
¦Слагаемые порядка я нас пока не интересуют. (Заметим, что величина jm
линейна по полю г[ща, поэтому вариация 6г])ца дает множитель 2.)
В самом деле, можно использовать нётеровскую процедуру в контексте чистой
гравитации, где имеются преобразование глобальной трансляции свободных
полей
= (9-20)
и локальное калибровочное преобразование
= + (9.21)
Они объединяются на первом же этапе нётеровской процедуры, что в
результате дает
6/Vv = ^ \ + 54V, (9-22)
так как ?v = (l/>0?v. Эта вариация поля содержит первые несколько членов
эйнштейновского общекоординатного преобразования тетрады е^а, для которой
справедливо разложение
e^V + KV- (9-23)
Действуем аналогично тому, как поступали в теории Янга - Миллса. Получим
последовательно в каждом порядке разложения по параметру я инвариантный
лагранжиан, добавляя к нему и к преобразованиям полей соответствующие
члены. Например, если мы добавим слагаемое к вариации бтрр,, допустим
бг|)^ = =... -\-ёХцЯ, то при варьировании свободного действия по полю
ifiy, получим вклад -я&Х^,^. На каждом этапе (т. е. в каждом порядке
разложения по параметру я) необходимо проверять, образуют ли
преобразования полей замкнутую алгебру. В действительности все
неоднозначности, которые возникают при такой процедуре, разрешаются с
помощью требования замкнутости алгебры.
64 ГЛАВА 9
Окончательные преобразования имеют вид [16, 17]
бе/ = хвуЧц,
6фр = 2A (w (е, ф)) е + гу5 - 4 Уцб) е - 4 Уц (М + iy5N) е, 6М = - 4
е~1Ъу^ - гёувФ А - хёуУфуМ +
+ -у ё (М + г'УбЛО^Фц, 6ЛГ = - 4" 1'ёу5УцЯ" + 4 ёф А - хёуУф,Д -
- -4 гёу5 А + iy5N) У"Фц>
А = 4 е"'ёУ5 (^nv - 4 Y"Yv) + ""уЖФц - \ ёфГФ А -
~ 4 %Ys (М + iy,N) г - -4 e^MYsY^, (9.24)
где
п ab
= el'vP,tl-Y5Yv?)p (да (е> ф)) фи> (да (g( ф)) = ^ _|_ Wiiab __
И
(r)ца6 ~2&Va {^[x^bv ^v^&n) 2_^V (^M^av *^v^a|x)
' 2" ^aP^b° (dp^ac даврС) 6p -f-
X2 -
+ - (ФцУаФб + ФаУцФй - ФцУйФа)- (9-25)
Они образуют замкнутую алгебру, причем коммутатор двух преобразований
суперсимметрии, действующих на любое поле, имеет вид
^62] ^суперсимметрии (" - Афу) + ^общекоординатное (^^р.)
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed