Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
что необходимо, ибо мы рассматриваем переход вещества в излучение; другие
два члена определяют кинетическую энергию одноатомных молекул и энергию
излучения соответственно. Энтропию такого газа наиболее удобно выразить
через концентрацию, воспользовавшись формулой (64.9):
S = ~ Nk In Т - Nk In с + const, (67.3)
а энтропию излучения с помощью (65.5):
S = ~avT3. (67.4)
*) Читателю, конечно, известно, что все процессы аннигиляции
действительно открыты; и что, например, антипротон, аннигилируя с
протоном, превращается не только в электромагнитное излучение, но и в
мезоны. Этот параграф также в переводе подвергнут сокращению. (Прим.
ред.)
156
ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ТЕРМОДИНАМИКА
Аддитивная постоянная в (67.3) должна быть пропорциональной числу молекул
N. В остальном же она произвольна, и выбор ее определяет начальную точку
отсчета энтропии. Удобно выбрать одинаковые точки отсчета энтропии в
выражениях (67.3) и (67.4), чтобы можно было рассматривать взаимное
превращение вещества и излучения. Положим постоянную в (67.3) для
5
простоты равной Nklnbe2, а Ь выберем так, чтобы обеспечить одинаковость
начальных точек отсчета. Складывая затем оба выражения, получаем полную
энтропию смеси в виде
5
5 = -i Ал in Т - Nk In + Nk In be' J- у avT3. (67.5)
В соответствии с нашим критерием равновесия эта величина должна быть
максимальной при постоянной энергии и постоянном объеме. Варьируя ее по
числу частиц А и по температуре Т, находим необходимое условие для
равновесия
к \nT-k\n j - k + к In be2J 6 N +
+ (yy J-4"u72)67 = ° (67.6)
и дополнительное уравнение, выражающее постоянство энергии: SЕ - (тс* + 1
кТ^ 6 A + (~ Nk + 4avT3^ ЬТ = 0. (67.7)
Решая совместно эти два уравнения, сразу получаем искомое выражение для
концентрации одноатомного газа, находящегося г, равновесии с излучением
при температуре Т, а именно:
з
A i гг.2 -тс2кТ оч
- = ЬТ е . (67.8)
Отсюда следует, что равновесная концентрация вещества должна
увеличиваться с ростом температуры.
Чтобы из этого выражения можно было получать конкретные значения
равновесной концентрации вещества при любой заданной температуре, нужно
знать величину постоянной Ь. У нас, естественно, нет никаких прямых
эмпирических данных относительно этой величины. Однако из теоретических
соображений величину этой постоянной нужно выбрать так, чтобы точ-
§ 67. РАВНОВЕСИЕ МЕЖДУ ВЕЩЕСТВОМ И ИЗЛУЧЕНИЕМ
157
ка начала отсчета энтропии и для вещества и для излучения была одной и
той же. Решая эту задачу, Штерн предполагал, что как в случае полости,
содержащей излучение, так и в случае вещества в чисто кристаллическом
состоянии энтропия должна становиться исчезающе малой при понижении
температуры до абсолютного нуля. В первом случае это предположение
кажется вполне разумным, поскольку при абсолютном нуле не может быть
вообще никакого излучения. Во втором - утверждение не столь очевидно, так
как оно справедливо лишь для той части энтропии вещества, которая связана
с неупорядоченным расположением и движением составляющих это вещество
атомов, в пренебрежении другими возможными вкладами. Тем не менее это
предположение, по-видимому, является наиболее оптимальным из всех, что мы
в состоянии сделать в настоящее время.
Предполагая оправданным выбор полной энтропии вещества в виде приращения
над значением энтропии при абсолютном нуле, приписываемым чистому
кристаллу, легко проделать остальное. Очевидно, что член в (67.5),
содержащий постоянную Ь, можно положить равным последнему члену в
(64.11), выражающему увеличение энтропии при переходе вещества из
кристаллического состояния в газовое при температуре абсолютного нуля, т.
е.
3 5
Nk In be2 = Nk inl"^L.
h3
Находя отсюда b и подставляя результат в (67.8), получаем штерновское
выражение для концентрации одноатомного" газа, находящегося в равновесии
с излучением при температуре Т:
5 з
N (2nmk\2 _2 "з кт
Т = ЬН T e-(tm)w. (67.9)
Для практических расчетов подставим сюда значения универсальных констант
и придем к результату
з з
с = 3,143- 10-4-/И5Т5е-1'081.1о-ш/Г! (67.10)
где с - концентрация в молях наши3, а М- молекулярный вес в граммах.
Из этих выражений легко видеть, что равновесная концентрация вещества
должна быть крайне низкой (исключая сверхвысокие температуры) из-за
экспоненциального множителя со степенью -mc^/kT. Таким образом, для газа,
состоящего из
158
ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ТЕРМОДИНАМИКА
простых нейтральных частиц, масса которых может превращаться в излучение
(например, нейтронного газа), равновесная концентрация даже при
температуре 109 градусов составит всего лишь
с=10"4688 моль1см3 или Лг=6,06-10~4663 молекул/см3. (67.11)
Вместо того чтобы изучать равновесие между излучением и газом, состоящим
из нейтральных частиц, рассмотрим более близкий к действительности
случай: равновесие между излучением и смесью электронов и протонов с
массами тх и т2 или положительных и отрицательных электронов, рождаемых
излучением в равном количестве для сохранения электрической
