Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
в калориях, поделенных на моль и на градус. Выражения
(64.12) и (64.15), конечно, справедливы лишь для одноатомных газов.
Можно рассмотреть также газы, имеющие более сложные молекулы. Тогда
придется учитывать вращение каждой молекулы как целого, а
если необходимо, то и колебания атомов
внутри молекул. Однако выражения для энергии н энтропии таких газов в
дальнейшем нам не понадобятся.
§ 65. Энергия и энтропия излучения абсолютно черного тела
В этом параграфе мы выведем известные выражения для энергии и энтропии
излучения, испускаемого абсолютно черным телом, которые необходимы нам
для последующих приложений.
Как показано в работе Стефана и Больцмана, плотность энергии излучения и,
заключенного в некоторой полости и находящегося в равновесии с ее
стенками при температуре Т, задается формулой
и - аТ4, (65.1)
где а - постоянная Стефана, равная [44]
а = 7,6237-10-15, (65.2)
если ее выражать в эргах, поделенных на см3 и на градус в четвертой
степени. Далее, давление, создаваемое этим излучением, задается
выражением
р = -j- Т*. (65.3)
Из соотношения (65.1) следует, что полная энергия "черного
излучения", заключенного в объеме v при температуре Т, выражается в виде
E=avT4. '05.4)
§ 66. РАВНОВЕСИЕ МЕЖДУ ВОДОРОДОМ И ГЕЛИЕМ
151
Кроме того, с помощью введенных соотношений можно, очевидно, найти, что в
случае обратимого изотермического расширения рассматриваемого объема
поглощенная теплота равняется
dQ = dE -f- dW - aTx dv + 4~ аГ* dv = 4- я Г1 dv.
О <5
Отсюда для увеличения энтропии в полости с ростом температуры имеем
dS = aT'dv,
Это выражение можно теперь проинтегрировать и найти полное возрастание
энтропии при увеличении объема от 0 до v. Именно, полная энтропия
равновесного излучения, находящегося при температуре Т в полости,
занимающей объем v, определяется следующим выражением:
S = avT3. (65.5)
Более того, эта величина, строго говоря, является абсолютной энтропией
такого излучения, поскольку она совпадает с увеличением энтропии,
происходящим при реальном процессе введения излучения внутрь полости.
В заключение параграфа запишем важную для дальнейшего характеристику
излучения черного тела - энергетическое распределение излучения по
различным частотам. Оно задается знаменитым законом Планка:
^ = jdv- (656)
§ 66. Равновесие между водородом и гелием
В качестве хорошего примера релятивистского соотношения между массой и
энергией в термодинамике рассмотрим образование гелия из водорода,
происходящее согласно квазихимиче-ской реакции
4Н=Не. (66.1)
Если, как это, по-видимому, разумно предположить, атом водорода состоит
из одного протона и одного электрона, а атом гелия - из ядра,
образованного четырьмя протонами и двумя электронами, то подобная ядерная
реакция (66.1) возможна на
152
ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ТЕРМОДИНАМИКА
самом деле*). Далее, поскольку масса атома гелия значительно меньше, чем
масса четырех атомов водорода, в этом процессе следует ожидать большого
выделения теплоты, а следовательно, в согласии с качественно справедливым
во всех случаях принципом Вертело, имеется большая вероятность протекания
такой реакции. В настоящем параграфе мы вычислим условия равновесия этого
гипотетического процесса [45].
Начнем с того, что выпишем для удобства критерий химического равновесия в
форме (60.14):
где каждая из величин 6п; определяет изменение числа молей какого-либо из
веществ, участвующих в реакции, при условии ее бесконечно малой скорости,
а величины (дф/дп{)- соответствующие скорости изменения
термодинамического потенциала системы при постоянных температуре и
давлении, отнесенные к одному молю рассматриваемого вещества. Применим
этот критерий к реакции между водородом и гелием (66.1), обозначив
индексами 1 и 2 водород и гелий'соответственно. Условие равновесия в этом
случае выглядит так:
Поскольку из каждых четырех атомов водорода получается один атом гелия,
имеем
-6п1 = 46п2,
и, следовательно, условие равновесия можно переписать в виде
Для того чтобы использовать это уравнение в данной задаче, мы должны
предположить, что и водород и гелий оба доста-
*) Содержание этого параграфа очень устарело. В действительности
образование атсшов гелия, например, в Солнце, по-видимому, результат
цепочки двух реакций: р + р->-d+e++v, d + d->-Не. Мы, однако, оставляем
эту главу без изменений, как пример достаточно интересных оценок,
сделанных на очень раннем этапе возникновения астрофизики. Отметим, что
автор не знал еще ничего о нейтронах и считал ядро гелия состоящим из
четырех протонов и двух электронов. Но, вероятно, не совсем бесполезно
посмотреть, о чем думали физики в начале 30-х годов. Так как нейтрино
уходят за пределы объема, в котором происходят реакции, то обратная
реакция не осуществляется. Поэтому тот тип равновесия, который
исследуется здесь, на самом деле не существует. (Прим. ред.)
(66.2)
§ 66. РАВНОВЕСИЕ МЕЖДУ ВОДОРОДОМ И ГЕЛИЕМ
153
точно разрежены, чтобы их можно было рассматривать как идеальные
