Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
определения давления как силы, действующей на единичную площадку, и из
известных уже лоренцевых преобразований для силы. Для простоты выберем
направления осей координат так, чтобы скорость и была параллельна оси х.
Преобразования Лоренца для сил Fx, Fv и Fz, которые действуют на элементы
поверхности системы, перпендикулярные к выбранным осям координат,
вытекают из правил преобразования для силы (25.3):
Fx = F°x, Fy = F°y У 1 - и2,/c2, Fz = Fl ]/l - иг1с\ (69.2)
где F°x, Fy и Fz - силы, действующие на те же самые поверхности, но в
собственной системе координат S0. Однако, поскольку площадка,
перпендикулярная к оси х, не подвергается лорен-цеву сокращению, а
площадки, нормальные к другим двум осям, сокращаются в отношении У1 -
м2/с2:1, мы сразу можем сделать вывод, что
р = Ро- (69.3)
Легко убедиться, что этот результат - просто частный случай общего
правила преобразования для компонент тензора натяжений (34.5) в
рассматриваемом нами случае, когда натяжения
§ 69. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
113
сводятся к гидростатическому давлению:
p = txx=tvy=tzz, tij-0 (i=?j). (69.4)
б) Энергия. Чтобы получить выражение для энергии нашей движущейся
системы, рассмотрим сначала систему, находящуюся в покое при тех
внутренних условиях, которые мы здесь рассматриваем, а затем определим
работу, которую следует совершить для придания ей нужной скорости путем
квазиста-ционарного адиабатического ускорения, не нарушающего внутренних
условий, определяемых локальным наблюдателем. Сначала получим выражение
для силы, действующей в течение процесса ускорения.
С помощью полученного нами общего соотношения между плотностью количества
движения и плотностью потока энергии (§27 и § 35) можно найти плотность
количества движения р и давления р потока, имеющего скорость и:
g = ри +(?. (69.5)
где первый член - плотность количества движения, связанная с перемещением
массы жидкости, а второй член учитывает дополнительное количество
движения, связанное с потоком энергии, возникающим из-за работы, которая
совершается над жидкостью действующим на нее давлением. Используя
соотношение между массой и энергией, можно записать
с = E + pv ц (69 6)
в качестве выражения для полного импульса жидкости в объе-
ме v в полном соответствии с предыдущим более общим выражением (35.2).
Это приводит нас к искомому выражению для внешней силы, вызывающей
ускорение системы:
р = яг(^"> (69-7)
Теперь легко вычислить проделанную работу и увеличение
энергии при изменении скорости. Работа, очевидно, складывается из работы,
проделанной внешней силой F, и работы сил давления р по изменению объема
системы. Следовательно, скорость изменения энергии можно положить равной
162 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ТЕРМОДИНАМИКА
Применим эту формулу к рассматриваемому процессу, используя условия
(69.1) и (69.3), которые перепишем еще раз:
р - р0, v = v0 Yl - u2lc2. (69.9)
Будем теперь считать, что ро и v0 здесь постоянны, так как по
предположению объем и давление не изменяются в процессе ускорения
системы. Учитывая постоянство давления р и подставляя (69.7) вместо F,
получаем
dE____dE и1 , и2 dv . Е + pv du dv
dt dt с2 ' P с2 dt с2 Ы dt P dt
или, после преобразований, следующее выражение:
(л и2\ d / г- , , Е + pv du
которое нетрудно проинтегрировать. Результат таков:
const
Е -f pv =
Y 1 - u2/c2
Константу в этом выражении найдем, положив и=0, что позволяет переписать
его в виде
?+'я=п=!!¦ (б9Ш)
или, привлекая (69.9), находим искомое правило преобразования энергии в
окончательном виде:
f = ?"+(69.li)
Y1 - и2/с2
Заметим, что этот результат - применение предыдущего уравнения (35.7) к
частному случаю, когда натяжения сводятся просто к гидростатическому
давлению.
в) Работа. Подсчитаем работу по изменению внутреннего состояния
системы при том условии, что скорость ее и остается постоянной. Учтем,
однако, то нетривиальное обстоятельство, что в релятивистской механике
импульс системы может изменяться даже при постоянной скорости, если
изменяется энергия системы, а следовательно, должна существовать внешняя
сила, которая производит работу и поддерживает постоянной скорость.
Работу йА по изменению внутреннего состояния при постоянной скорости
можно выразить так:
dA-pdv-udG, (69.12)
§ 69. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
163
где в первом члене учитывается работа, совершаемая против сил давления,
во втором - работа, выполняемая внешней силой. Подставляя в последнюю
формулу выражение (69.6) и используя условие постоянства скорости,
получаем
dA = pdv - рг d (Е + pv). (69.13)
Привлекая соотношения (69.1), (69.3) и (69.10), преобразуем это выражение
к виду
dA = V 1 - и2/с2 p0dv0 - - У d (Е0 + p0v0),
У 1 - ий-,сы
ИЛИ
dA = Vl - dA0 - l7== d (Е0 4- ррй). (69.14)
у 1 - u^lc-
Итак, получено выражение для работы dA через величины, измеряемые в
собственных координатах.
г) Теплота. Все величины, правила преобразования которых были
рассмотрены, связаны с механикой, и нам не надо было вводить никаких
