Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
зарядов в элементе объема вещества может быть объяснена с
микроскопической точки зрения, если заметить, что она реализуется только
тогда, когда имеется относительное движение двух зарядов, и что она
связана со следствиями понятия одновременности в специальной теории
относительности [30].
§ 53. Материальные уравнения для движущегося вещества в обычной векторной
записи
Уравнения, связывающие смещение, индукцию и ток со свойствами вещества,
заданные в собственных координатах в § 49 и в тензорной форме в § 51,
легко записать теперь в векторной форме с помощью уравнений предыдущего
параграфа.
Определим по аналогии с (52.11) и (52.12) два новых вектора:
Используя еще выражения для тока проводимости (52.14), можно написать
уравнения
(53.1)
(53.2)
Тогда первые два уравнения примут простой вид: D* = eE* и В* = рН*.
(53.3)
С, = <т]/1 -ц2/с2 Е'х, С" =
если скорость движения вещества и считать параллельной оси х. Этот
результат можно рассматривать как аналог закона Ома для движущегося
вещества.
§ 54. ПРИМЕНЕНИЯ МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
121
§ 54. Применения макроскопической теории
Итак, мы полностью сформулировали основные уравнения макроскопической
электродинамики, записав их и в четырехмерном и в обычном трехмерном
виде. Из дальнейшего станет ясным, что при этом мы совсем немного
отступили от обычного изложения. Отметим еще некоторые следствия из
теории, важные либо для ее понимания, либо для дальнейшей работы.
а) Сохранение электрического заряда. Используя второе из двух
фундаментальных уравнений (50.6) и (50.7) макроскопической теории, а
именно
днbv
-^=4". (54.1)
можно сразу получить закон сохранения электрического заряда.
Дифференцируя (54.1) по Л1, находим
dj'1 <3a#uv
причем нуль справа возникает из-за антисимметрии №v. Разложив на
компоненты левую часть в (54.2), приходим к результату
dJl , ал , а/3 , а/4 ft
ах1 + ал + ахз + ах* ~ 0> (°4-3)
или, в координатах (50.1), компоненты Jv- в обычной векторной записи (§
52) выглядят следующим образом:
а/, dJ" dJ, dp
"аГ + "а7 + 'аГ + dt =0- (54-4)
Так как J следует рассматривать как сумму тока конвекции и тока
проводимости, то можно считать, что последнее уравнение гарантирует
сохранение полного электрического заряда.
б) Граничные условия. Из уравнений поля, записанных в § 52, можно
получить граничные условия на поверхности раздела двух сред с различными
свойствами [37], которые очень близки к тем, что известны из
максвелловской теории покоящегося вещества. Однако в случае движущегося
вещества ситуация несколько осложняется, поскольку уравнения поля
содержат выражения дВfdt и dDjdt, т. е. скорости изменения векторов
напряженностей в данной точке пространства, а эти векторы, вообще говоря,
могут иметь разрывный характер в точке, которая в данный момент лежит на
движущейся границе. Если, однако, определять скорость изменения во
времени в точке,
122
ГЛ. IV. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
движущейся с той же скоростью и, что и среда, оператором
d д
~dt~ ~ ~di ^ (UV)> (54.5)
то можно ожидать, что мы получим конечную скорость изменения даже внутри
граничного слоя.
Учитывая это, можно переписать уравнения поля (52.4) в виде
rotH4-(-J-V)D-4-= ~Hr+(-fv)D (54.6)
и заключить, что величины, стоящие слева, будут везде конечными за счет
соответствующей формы правой части (54.6). Другими словами, раскладывая
векторы левой части по компонентам и выражая ток J как сумму тока
проводимости С и тока конвекции ри, мы приходим к заключению о конечности
следующих трех величин:
дН, дН" и, dZ)" и" dDr и, dD, и, С"
Р-
ду ы дг + - ' С дх _L 1 У С ду + с дг
дИх Ur + - ' с dDy + иУ dDy + ¦ иг dDy
дг дх дх с ду С дг
дНу дНх Ur + - 1 с dDz | иУ dDz ¦ + иг dDz
дх ду дх 1 с ду С дг
X
С
с '
(54.7)
С,
-Р--
Z
Чтобы использовать эти результаты, выберем для простоты координаты так,
чтобы в точке наблюдения граница раздела сред была параллельна плоскости
yz. Далее, так как дифференцирование по у и z будет приводить, очевидно,
к конечным результатам, а ток проводимости конечен по предположению, мы
можем, очевидно, отбросить некоторые члены, стоящие в
(54.7), и считать конечными более простые величины:
их { dDx дНг dDy иу
с [ дх Р,/' дх ^ с дх Р с '
о", , "< _рХ (54.8)
дх 1 с дх с
Первое из этих выражений приводит к тому, что
dDх _
дх Р
является конечной величиной, или
(54
е\
ADx-(o,
(54.10)
§ 54. ПРИМЕНЕНИЯ МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
123
где ADx - скачок компоненты электрической индукции, нормальной к
граничной поверхности, возникающий за счет зарядов, распределенных на
этой поверхности с плотностью о. Оставшиеся два выражения можно
объединить с условием (54.9), что дает следующие конечные величины:
дНу _ dDx _ _"* dDz \
дх \ с дх с дх j
И
дИг (их dDy иу
их \ с дх с дх }'
или, поскольку компоненты скорости и постоянны, из последних выражений
можно заключить, что величины
(54.11)
изменяются непрерывным образом прн прохождении через границу. Эти
