Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
учитывать микроскопическая теория
§ 49. Уравнения, определяемые свойствами покоящегося
вещества
Для полного описания электромагнитных явлений четырех уравнений поля
недостаточно. Они должны быть дополнены соотношениями, которые связывают
фигурирующие в этих уравнениях величины с параметрами вещества. Для
простоты приведем эти соотношения в том простом виде, в котором их
использовал Максвелл:
D° = eE°, В° = pH0, J°=oE°;
(49.1)
§ 50. УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ВИДЕ
115
здесь е - диэлектрическая постоянная, р - магнитная проницаемость, о -
электрическая проводимость, которые мы будем считать известными функциями
координат и времени.
Хотя уравнения поля (48.1) - (48.4), вообще говоря, справедливы и для
неоднородных и анизотропных тел, дальнейшие выводы, зависящие от
сделанного выбора "материальных" уравнений (49.1), применимы лишь к
случаю йзотропного вещества, в отсутствие вынуждающих внешних
электрических сил другой природы, например, тепдовой или химической.
§ 50. Уравнения поля в четырехмерном виде
До сих пор, применяя специальную теорию относительности к механике и к
электронной теории, мы вводили вначале координаты (х, у, z) и координату
t, соответствующие трехмерному пространству и одномерному времени, а
затем переходили к координатам (я1, х2, х3, х4), соответствующим
четырехмерному пространственно-временному континууму, либо использовали
их параллельно. Простота и удобство четырехмерного подхода были при этом
очевидны. Теперь при изучении электромагнитных явлений в веществе мы
сразу используем все преимущества этого мощного метода, записывая с
самого начала все основные уравнения в четырехмерном виде. Переводить же
полученные результаты на старый язык будем лишь тогда, когда это будет
нужно.
Обратимся для этого к ранее введенным пространственно-временным
координатам (20.2):
Xх -х, х2-у, x3=z, x4-ct, (50.1)
которым соответствует простое выражение (20.1) для интервала: ds2= -
(dx1)2- (dx2)2- {dx3)2+ (dx4)2. (50.2)
Введем также два антисимметричных электромагнитных тензора F^v и //'IV,
определив их компоненты в собственной системе координат (хо, х\, хо, 4).
относительно которой вещество покоится, через величины, фигурирующие в
уравнениях Максвелла (§ 48):
rv
в
0 в°г -К р 0 ч' ~ сх
-К 0 в°х " го У
В°у -д" 0 -к
В°х Е°у Е° 0
(50.3)
116 гл. IV. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
HV
0 Hi ~н1 -D
-Н°г 0 - D
"1 -л; 0 - D
. D°x Di D°z 0
(50.4)
Введем еще вектор тока Jц, задав его компоненты в собственной системе
координат следующим образом:
J0
* X
(50.5)
С помощью введенных тензоров можно записать уравнения А1аксвелла как
тензорные уравнения:
dF
дха
UV |
dF"
dxv-
дН^ dxv
+
dFn
дхУ
0
= /•*.
(50.6)
(50.7)
Поскольку эти уравнения тензорные, то они справедливы во всех системах
координат, если они справедливы в одной. Записав, однако, эти уравнения в
собственных координатах, легко установить их тождественность уравнениям
Максвелла, воспользовавшись определением стоящих в них тензоров. При этом
оказывается, что уравнения (50.6) эквивалентны уравнениям (48.2) и
(48.3), а уравнения (50.7) - уравнениям (48.1) и (48.4). Теперь можно
считать, что мы нашли уравнения в простой форме, справедливой, когда
вещество находится как в состоянии равномерного движения, так и в
состоянии покоя.
Эти уравнения применимы и к случаю нескольких тел, движущихся с
различными постоянными относительными скоростями и разделенных пустым
пространством. Действительно, можно задать тензоры F*-tv, Н^ и /•* внутри
каждого из этих тел по формулам (50.3) - (50.5), используя системы
собственных координат, движущихся с веществом, добиваясь, таким образом,
того, чтобы уравнения Максвелла для покоящегося вещества были справедливы
для каждого тела в отдельности.
§ 51. Четырехмерная формулировка материальных уравнений
Материальные уравнения (49.1), связывающие смещение, индукцию и ток со
свойствами вещества, легко переписать на четырехмерном языке в виде
тензорных уравнений [36]:
Ы dxа 17 dx
На,3 - ега(5
ds
(51.1)
§ 52. ПОЛЕ ДВИЖУЩЕГОСЯ ВЕЩЕСТВА В ВЕКТОРНОЙ ЗАПИСИ
117
(ga3-fy6 4" gv'lF 63 + gaS-Ppy) -fa-
d
= M' (ga$Hv& 4" gayH63 + gabHpv) (51.2)
И
r_ . dx& dxa a dx^ /Ci 0\
Ja - ЧГ ЧГ = -^уруачг- <51-3)
Здесь e, ц и a - соответственно диэлектрическая постоянная, магнитная
проницаемость и проводимость вещества, измеряемые движущимся вместе с
веществом локальным наблюдателем, а dxa/ds и dx^/ds - компоненты
"скорости" вещества в точке наблюдения.
Учитывая, что в собственных координатах dxa/ds равно единице при а=4, а
для остальных возможных значений равно нулю, легко убедиться, что
соотношения (51.1) - (51.3) в собственных координатах принимают
первоначальный свой вид
(49.1). Следовательно, новые выражения для дополнительных уравнений
справедливы в одной из систем координат, а потому, вследствие тензорного
их характера, справедливы и в любой системе координат. Эти уравнения
применимы также и в том случае, когда имеется несколько тел, находящихся
