Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
(39.11):
(Ах, Ау, Аг, ф). (46.6)
Совершая лоренцевы преобразования над компонентами вектора ф11 по
формулам (39.12) и (39.13), можно показать, что связь А и ф сохраняется
во всех системах координат типа
(46.1).
С помощью 4-вектора ковариантного потенциала фц можно ввести тензор
электромагнитного поля F^:
FMv = -- -• (46.7)
1 dxv дхu V '
В координатах (46.1) четырехмерный потенциал фц будет иметь согласно
(20.7) компоненты
Фи= (- Ах, - Ау, -Az, ф). (46.8)
Тогда, пользуясь формулами (38.8) и (38.9), легко выразить через
электрические и магнитные напряженности поля Е и Н все компоненты F^:
Г'
*С = | Н" -Я. о" Е. I- (46.9)
Контравариантные компоненты в соответствии с общими правилами (20.8)
имеют при этом вид
Г"
/^v = l Н" -Н, О -Е, I- (46.10)
Теперь мы можем с помощью введенных величин свести лоренцевские полевые
уравнения к двум очень простым по форме уравнениям:
- + - + ^ = 0 (4611)
дх? дх11 ^ дхv l*o.и;
и
dFv"ldx?=J*. (46.12)
0 Нг~ ~НУ
~"г 0 Их ЕУ
НУ -Нх 0 Ег
~Еу ¦ ~Ег 0
0 нг ~Иу -Ех
0 нх -ЕУ
Ну - Нх 0 -Ег
Ех Еу Ег 0
по
ГЛ. IV. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Пользуясь определением в виде (46.7), легко установить, что первое из
этих уравнений является тождеством. Как тензорное уравнение, оно
справедливо во всех системах координат, если справедливо в одной из них
(см. уравнение (41), Приложение III). Второе уравнение надо рассматривать
как независимый постулат. Оно представляет собой тензорное соотношение,
поскольку в используемых нами простых координатах dF^/дхУ - это свертка
ковариантной производной F"v.
Придавая индексам ц, v и о различные значения 1, 2, 3, 4 и расписывая по
компонентам /**, Fи F"v в соответствии с определениями (46.4), (46.9),
(46.10), легко показать, что первое из уравнений, (46.11), эквивалентно
набору уравнений
дНг дН" дН,
дх 1 + дг • = 0
дЕг дЕу 1
ду дг с dt '
1 Н I 1 tT 1 дНу
дг дх с dt '
дЕи 1 ^ гп н 1 1 дИг
дх ду с dt '
(46.13)
(46.14)
в то время как второе уравнение, (46.12), эквивалентно следующей системе
уравнений:
' dF.
(46.15)
дЕх -Т дх т дЕу ду , ' дг
дНг дну 1 дЕх
ду дг с dt
1 н днг 1 дЕУ
дг дх с dt
дНу дНх 1 дБг
дх ду с dt
' ' С U"
p-f. (46.16)
Эти уравнения - не что иное, как запись в компонентах четырех уравнений
поля (39.1) - (39.4), на которых основана ло-ренцевская электронная
теория. Таким образом, два уравнения
(46.11) и (46.12) могут служить удобным отправным пунктом при
исследовании электромагнитных явлений.
б) Четырехмерное выражение силы, действующей на заряд. В дополнение к
этой возможности формулировать лоренцевы
§ 46. ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
111
полевые уравнения на четырехмерном языке, следует отметить, что выражение
для силы (41.4), т. е. пятое фундаментальное уравнение теории Лоренца,
также носит четырехмерный характер. Чтобы убедиться в этом, проще всего
рассмотреть построение ковариантного вектора Fиз компонент обычной силы и
скорости изменения энергии по следующей схеме:
FV = / Fх F"___________F_1____________1 dE
V1 - u2/c2 ' v I - u2/c2 ' /1 - u2/c2 ' /1 - u2/c2 c dt
(46.17)
В самом деле, используя пятое фундаментальное уравнение
(41.4), подставим в (46.17) выражения для компонент силы Fx, Fy и Ft,
действующей на заряд е, движущийся со скоростью и, а вместо dE/dt -
выражение совершаемой над этим зарядом работы. Тогда с помощью уравнений
(40.1), (40.2) и (40.5) легко убедиться в том, что величины, заданные
соотношением
(46.17), преобразуются как компоненты контравариантного вектора. В
согласии с формулой (28.12) видно, что F** обладает необходимыми
свойствами силы любой природы.
Далее, подставляя в выражение (28.10) для силы, действующей на движущуюся
частицу, компоненты F^ из (46.17),
= (46.18)
немедленно получаем ожидаемый результат:
(46.19)
d / т°и.^= ,.Л = в (е + - [и X Н]
dt V/1 - U*/С* ! \ с
d I т0с2 \
-гг- - = е (Е • и).
dt \yi-"2/с2/
в) Четырехмерное выражение для электромагнитного тензора энергии -
импульса. Наконец, отметим, что можно построить из тензора
электромагнитных натяжений pi} и плотностей электромагнитной массы р и
импульса gt электромагнитный тензор энергии - импульса [7'ч',]эм,
формально подобный механическому тензору [t^v]"ei, поскольку правила
преобразований
(44.1) -( 44.3) электромагнитных величин совпадают с правилами
преобразований соответствующих механических величин.
112 ГЛ. IV. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Тензор энергии - импульса электромагнитного поля надо задать следующим
образом:
РXX
Рух
Ргх
Рха
УУ
Рхг
Руг
Pzz
[ЕХН], [ЕХН]" [Е X Н]2
[ЕХН], IE X H]v [Е X Н]2
Е* -L IP
(46.20)
Максвелловские натяжения определены здесь, как и выше
¦H) - H
h ',
(46.21)
Если допустить обсуждавшуюся в § 45 возможность совместного рассмотрения
соответствующих механических и электрических величин, очевидно, что
уравнения движения (45.7) и уравнение непрерывности (45.8) для системы, в
которой происходят и механические и электрические явления, можно записать
