Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
веществом, равна скорости увеличения его массы, умноженной на с2. Тогда с
помощью уравнений § 42 и § 43 эффекты электромагнитного воздействия на
механические массу и импульс данного пространственного объема можно
выразить так:
f -4т IPUx dv=-[i~r [р]зм + -щ [g/Ьм dv, (45.3)
j ~§т dv=r- - \ {-J" Й<Ьм + -щ- [Pt/b"} dv. (45.4)
Так как в общем случае механическое и электромагнитное воздействия на
массу и импульс существуют совместно, мы попытаемся теперь объединить эти
уравнения так, чтобы найти полную скорость изменения этих величин. Однако
прежде мы обсудим разницу в подходах, которые использовались при
получении механических и электромагнитных уравнений.
Уравнения механики были получены чисто макроскопическим путем. Величины
р, g и piU стоящие в них, имеют макроскопический характер и определяются
с помощью уравнений (36.3) -
(36.5) через макроскопические величины, которые могут быть
непосредственно измерены локальным наблюдателем, движущимся вместе с
рассматриваемой средой. Далее, теоретические основы этих уравнений
механики не содержат в себе никаких микроскопических аспектов и
развиваются как естественные, хотя не всегда однозначные, обобщения
результатов макроскопических опытов по проверке сохранения массы и
импульса, по проверке постулатов специальной теории относительности и из
результатов феноменологического изучения свойств упругих тел, находящихся
в покое. Следовательно, можно ожидать, что построенная на таких
основаниях теория не должна зависеть от результатов квантовой механики.
§ 45. МЕХАНИЧЕСКОЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
107
Напротив, электромагнитная теория до сих пор рассматривалась нами
микроскопически, как это принято в классической электронной теории
Лоренца. Величины [р]мех, [р]эы, [g-]мех и [р"]эм, стоящие в (45.3) и
(45.4), имеют микроскопический характер и считаются заданными в
определенной точке пространства и в фиксированный момент времени даже в
том случае, когда трудно придумать какие-либо реальные эксперименты для
измерения этих величин.
Итак, следует ожидать, что наши взгляды могут измениться в результате
появления строгого аппарата квантовой электродинамики, хотя многие
выводы, относящиеся к макроскопическим явлениям, должны по-прежнему
остаться справедливыми.
Макроскопический характер величин в выражениях (45.1) и
(45.2) и микроскопический характер величин в выражениях
(45.3) и (45.4) делает логически несовместимым непосредственный учет
сразу обоих видов воздействия на механические плотность и импульс. Но
если предположить, что корректные процессы усреднения, которые превратят
микроскопические плотности в макроскопические, оставят неизменными
уравнения (45.3) и (45.4), то можно считать совместное рассмотрение двух
видов воздействия оправданным. В этом случае можно после некоторых
преобразований получить
Собирая механические и электромагнитные величины одинаковой природы и
переходя к дифференциальной форме, можем написать для зависимостей полных
плотностей массы и импульса от времени следующие выражения:
и
(45.7)
и
д8с , dpij
-- ------------- - О
dt 1 дх, U
(45.8)
Эти уравнения имеют ту же самую форму, что и наши первоначальные
уравнения движения и непрерывности (36.6) и (36.7) в случае чисто
механического движения.
108
ГЛ. IV. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
§ 46. Четырехмерная формулировка электронной теории
а) Уравнения поля. Уравнения поля (39.1) - (39.4), на которых основана
электронная теория, легко записать на четырехмерном языке, уже
использованном при исследовании свойств пространственно-временного
континуума. В ряде случаев это приводит к большому выигрышу.
Чтобы получить эти выражения, воспользуемся, как и прежде, галилеевыми
координатами (20.2):
xl-x, х2-у, xz=z, x*=ct, (46.1)
которые всегда можно ввести в плоском пространстве - времени специальной
теории относительности, в которой квадрат интервала имеет простой вид:
ds2=- (dx1)2- (dx2)2- (dx2) 2-f- (dx*)2. (46.2)
Введем еще два вектора, необходимых для дальнейшего. Первый из них, так
называемый вектор тока J•*, может быть, вообще говоря, определен в любой
системе координат с помощью формулы
(46-У
где ро - собственная плотность электрических зарядов в рассматриваемой
точке, измеряемая локальным наблюдателем, a dxv-Jds - обобщенная скорость
движения этой плотности. При специальном выборе координат (46.1)
компоненты вектора тока, очевидно, записываются так:
I dx1 dx3 dx3 dx4 \
J ~ (Po ds ' Po ds ' Po ds ' Po ds )~
( dx1 dx1 dx4 dx4 dx1 dx3 dx* \ _
-(Po'dT'a^' Pe'dTdF"' Po1T dx* ' Po ds j
(46.4)
так как ______
&=/*-? <46-5>
представляет собой множитель, учитывающий лоренцево сокращение
движущегося заряда.
Второй нужный нам вектор - это четырехмерный потенциал ф|*, который можно
определить, задав его компоненты в координатной системе (46.1), через
обычный вектор-потенциал А и
§ 46. ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
109
скалярный потенциал ср, введенные выше уравнениями (39.8) -
